Для решения уравнения 3sin x + 2cos^2 x = 3, давайте сначала преобразуем его. Мы знаем, что cos^2 x можно выразить через sin x с помощью тождества:

cos^2 x = 1 - sin^2 x

Теперь подставим это в уравнение:

3sin x + 2(1 - sin^2 x) = 3

Раскроем скобки:

3sin x + 2 - 2sin^2 x = 3

Теперь перенесем все в одну сторону:

-2sin^2 x + 3sin x + 2 - 3 = 0

Упрощаем уравнение:

-2sin^2 x + 3sin x - 1 = 0

Умножим уравнение на -1 для удобства:

2sin^2 x - 3sin x + 1 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно sin x. Мы можем решить его с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 2, b = -3, c = 1:

D = (-3)^2 - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1

Теперь находим корни уравнения:

sin x = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения:

sin x = (3 ± √1) / (2 * 2)

sin x = (3 ± 1) / 4

Теперь находим два корня:

• Первый корень: sin x = (3 + 1) / 4 = 4 / 4 = 1
• Второй корень: sin x = (3 - 1) / 4 = 2 / 4 = 1/2

Теперь найдем значения x для каждого из корней в пределах отрезка [0; 2π].

1. Для sin x = 1:

• x = π/2

2. Для sin x = 1/2:

• x = π/6
• x = 5π/6

Теперь у нас есть три корня: π/2, π/6 и 5π/6. Теперь найдем сумму этих корней:

Сумма = π/2 + π/6 + 5π/6

Приведем дроби к общему знаменателю (6):

• π/2 = 3π/6
• π/6 = π/6
• 5π/6 = 5π/6

Теперь складываем:

Сумма = 3π/6 + π/6 + 5π/6 = (3 + 1 + 5)π/6 = 9π/6 = 3π/2

Таким образом, сумма корней уравнения 3sin x + 2cos^2 x = 3, которые принадлежат отрезку [0; 2π], равна 3π/2.