Даю 43 балла. Решите неравенства: 2х^2 + 8х - 111 < (3х - 5)(2х + 6) и (5х + 1)(3х - 1) > (4х - 1)(х + 2). Пожалуйста, предоставьте полное решение.

Алгебра 11 класс Неравенства и их решения неравенства решение неравенств алгебра 11 класс Квадратные неравенства система неравенств математические решения график неравенств методы решения неравенств Новый

Давайте решим оба неравенства поочередно, подробно объясняя каждый шаг.

Первое неравенство: 2x^2 + 8x - 111 < (3x - 5)(2x + 6)

1. Начнем с того, что упростим правую часть неравенства. Раскроем скобки:

• (3x - 5)(2x + 6) = 3x * 2x + 3x * 6 - 5 * 2x - 5 * 6
• = 6x^2 + 18x - 10x - 30
• = 6x^2 + 8x - 30

2. Теперь подставим это в неравенство:

2x^2 + 8x - 111 < 6x^2 + 8x - 30

3. Переносим все слагаемые в одну сторону:

2x^2 + 8x - 111 - 6x^2 - 8x + 30 < 0

4. Упрощаем:

-4x^2 - 81 < 0

5. Умножим на -1 (неравенство изменит знак):

4x^2 + 81 > 0

6. Заметим, что 4x^2 + 81 всегда больше нуля, так как 4x^2 ≥ 0 и 81 > 0. Таким образом, это неравенство выполняется для всех x.

Ответ для первого неравенства: x ∈ R (все действительные числа).

Второе неравенство: (5x + 1)(3x - 1) > (4x - 1)(x + 2)

1. Сначала раскроем скобки с обеих сторон:

• (5x + 1)(3x - 1) = 15x^2 - 5x + 3x - 1 = 15x^2 - 2x - 1
• (4x - 1)(x + 2) = 4x^2 + 8x - x - 2 = 4x^2 + 7x - 2

2. Подставим это в неравенство:

15x^2 - 2x - 1 > 4x^2 + 7x - 2

3. Переносим все слагаемые в одну сторону:

15x^2 - 2x - 1 - 4x^2 - 7x + 2 > 0

4. Упрощаем:

11x^2 - 9x + 1 > 0

5. Теперь найдем корни квадратного уравнения 11x^2 - 9x + 1 = 0 с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 * 11 * 1 = 81 - 44 = 37

6. Корни уравнения:

• x1 = (9 + √37) / (2 * 11)
• x2 = (9 - √37) / (2 * 11)

7. Теперь определим интервалы, на которых неравенство выполняется. Мы знаем, что парабола открывается вверх (коэффициент при x^2 положителен), поэтому:

• Неравенство 11x^2 - 9x + 1 > 0 выполняется вне корней x1 и x2.

8. Обозначим корни как:

x1 ≈ 0.853 и x2 ≈ 0.047

9. Таким образом, решение второго неравенства:

x < (9 - √37) / 22 или x > (9 + √37) / 22.

Ответ для второго неравенства: x < (9 - √37) / 22 или x > (9 + √37) / 22.