Похожие вопросы
2025-11-11 17:27:00
Докажите, что при любых значениях переменных значение выражения:
- (x+2)^2 - 2(x+2) + 1 неотрицательно;
- (x-y)(x-y-6) + 9 неотрицательно.
Алгебра 11 класс Неравенства и их графики алгебра 11 класс неотрицательные выражения доказательство неотрицательности квадратные выражения неравенства алгебры
2025-11-11 17:27:13
Давайте поочередно докажем неотрицательность каждого из предложенных выражений.
1. Рассмотрим первое выражение: (x+2)^2 - 2(x+2) + 1
Обозначим z = (x + 2). Тогда наше выражение можно переписать как:
z^2 - 2z + 1.
Теперь заметим, что это выражение является квадратом двучлена:
z^2 - 2z + 1 = (z - 1)^2.
Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то:
(z - 1)^2 ≥ 0 для любого z.
Следовательно, исходное выражение (x + 2)^2 - 2(x + 2) + 1 также неотрицательно для любых значений x.
2. Теперь рассмотрим второе выражение: (x-y)(x-y-6) + 9
Раскроем скобки в этом выражении:
(x - y)(x - y - 6) = (x - y)^2 - 6(x - y).
Подставим это обратно в выражение:
(x - y)^2 - 6(x - y) + 9.
Теперь заметим, что это также можно представить как квадрат двучлена:
(x - y)^2 - 6(x - y) + 9 = ((x - y) - 3)^2.
Аналогично, квадрат любого действительного числа неотрицателен:
((x - y) - 3)^2 ≥ 0 для любого x и y.
Таким образом, выражение (x - y)(x - y - 6) + 9 также неотрицательно для любых значений x и y.
Вывод: Мы доказали, что оба выражения неотрицательны для любых значений переменных.