Докажите, что выполняется следующее тождество:

Sin^4(A/2) - cos^4(A/2) = -cos(A)

Алгебра 11 класс Тригонометрические тождества алгебра 11 класс тождество sin^4 cos^4 доказательство Тригонометрия Углы функции Новый

Для доказательства тождества Sin^4(A/2) - cos^4(A/2) = -cos(A) мы воспользуемся формулой разности квадратов и тригонометрическими тождествами.

Начнем с левой части равенства:

1. Мы можем представить разность квадратов в виде: Sin^4(A/2) - cos^4(A/2) = (Sin^2(A/2) + cos^2(A/2))(Sin^2(A/2) - cos^2(A/2)).
2. Согласно основному тригонометрическому тождеству, Sin^2(A/2) + cos^2(A/2) = 1. Таким образом, мы можем упростить выражение: Sin^4(A/2) - cos^4(A/2) = 1 * (Sin^2(A/2) - cos^2(A/2)) = Sin^2(A/2) - cos^2(A/2).

Теперь нам нужно упростить выражение Sin^2(A/2) - cos^2(A/2). Мы можем использовать следующее тригонометрическое тождество:

• Согласно формуле двойного угла, мы знаем, что: cos(A) = cos^2(A/2) - sin^2(A/2).
• Перепишем Sin^2(A/2) - cos^2(A/2) как: -(cos^2(A/2) - Sin^2(A/2)), что равно: -cos(A) (по формуле двойного угла).

Таким образом, мы получаем, что:

Sin^4(A/2) - cos^4(A/2) = Sin^2(A/2) - cos^2(A/2) = -cos(A).

Следовательно, мы доказали, что тождество Sin^4(A/2) - cos^4(A/2) = -cos(A) действительно выполняется.