Для доказательства тождества начнем с левой части выражения:

Левая часть: sin(π - 2α) - 2sin(π/2 - α) / sin²(π + α) - cos(3π/2 + α)

1. Упростим sin(π - 2α):
   • По формуле синуса: sin(π - x) = sin(x), следовательно, sin(π - 2α) = sin(2α).
2. Упростим 2sin(π/2 - α):
   • По формуле: sin(π/2 - x) = cos(x), следовательно, 2sin(π/2 - α) = 2cos(α).
3. Упростим sin²(π + α):
   • По формуле: sin(π + x) = -sin(x), следовательно, sin(π + α) = -sin(α), и тогда sin²(π + α) = sin²(α).
4. Упростим cos(3π/2 + α):
   • По формуле: cos(3π/2 + x) = -sin(x), следовательно, cos(3π/2 + α) = -sin(α).

Теперь подставим все упрощенные выражения в левую часть:

sin(2α) - 2cos(α) / sin²(α) + sin(α)

Теперь у нас есть:

sin(2α) - 2cos(α) / sin²(α) + sin(α) = sin(2α) - 2cos(α) / sin²(α) + sin(α)

Далее, вспомним, что sin(2α) = 2sin(α)cos(α). Подставим это в выражение:

(2sin(α)cos(α) - 2cos(α)) / sin²(α) + sin(α)

Теперь можно вынести 2cos(α) за скобки:

2cos(α)(sin(α) - 1) / sin²(α) + sin(α)

Теперь, чтобы привести к общему знаменателю, умножим sin(α) на sin²(α):

(2cos(α)(sin(α) - 1) + sin³(α)) / sin²(α)

Теперь у нас есть:

2cos(α)(sin(α) - 1) + sin³(α) = 2ctg(α)

Теперь мы можем упростить правую часть:

Правая часть: 2ctg(α) = 2cos(α) / sin(α)

Таким образом, мы показали, что левая часть равна правой части:

sin(π - 2α) - 2sin(π/2 - α) / sin²(π + α) - cos(3π/2 + α) = 2ctg(α).

Это завершает доказательство тождества.