Давайте исследуем функцию f(x) = (1/5) * x^5 - (1/3) * x^3 и построим ее график. Для этого нам нужно выполнить несколько шагов:

Для начала найдем производную функции f(x), чтобы определить критические точки и поведение функции.

1. Производная f'(x) = (1/5) * 5 * x^4 - (1/3) * 3 * x^2 = x^4 - x^2.

Критические точки находятся, когда производная равна нулю:

1. Решим уравнение x^4 - x^2 = 0.
2. Факторизуем: x^2(x^2 - 1) = 0.
3. Таким образом, критические точки: x^2 = 0 (x = 0) и x^2 - 1 = 0 (x = ±1).

Теперь мы определим, как меняется знак производной на интервалах, которые определяются критическими точками:

• Интервал (-∞, -1): f' < 0 (функция убывает).
• Интервал (-1, 0): f' > 0 (функция возрастает).
• Интервал (0, 1): f' < 0 (функция убывает).
• Интервал (1, ∞): f' > 0 (функция возрастает).

Теперь найдем значения функции в критических точках:

1. f(0) = (1/5) * 0^5 - (1/3) * 0^3 = 0.
2. f(-1) = (1/5) * (-1)^5 - (1/3) * (-1)^3 = -1/5 + 1/3 = -3/15 + 5/15 = 2/15.
3. f(1) = (1/5) * 1^5 - (1/3) * 1^3 = 1/5 - 1/3 = 3/15 - 5/15 = -2/15.

Теперь посмотрим на поведение функции на границах:

• При x → -∞, f(x) → -∞.
• При x → ∞, f(x) → ∞.

Теперь у нас есть все необходимые данные для построения графика функции:

• Критические точки: (-1, 2/15), (0, 0), (1, -2/15).
• Функция убывает на интервале (-∞, -1) и (0, 1), возрастает на интервале (-1, 0) и (1, ∞).

С учетом этих данных, вы можете построить график функции. Он будет иметь максимум в точке (-1, 2/15), минимум в точке (1, -2/15) и проходить через начало координат в точке (0, 0).

Таким образом, мы исследовали функцию f(x) и получили полное представление о ее поведении и графике.