Как можно доказать тождество: cos^2(a+b) + cos^2(a-b) - cos2a * cos2b = 1?

Алгебра 11 класс Тригонометрические тождества доказательство тождества алгебра 11 класс косинусы тригонометрические тождества формулы косинусов Новый

Для доказательства тождества cos^2(a+b) + cos^2(a-b) - cos2a * cos2b = 1 мы будем использовать формулы приведения и некоторые тригонометрические тождества. Давайте разложим каждую часть этого выражения.

1. Используем формулы для косинуса суммы и разности:
   • cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)
   • cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)
2. Теперь найдем cos^2(a + b) и cos^2(a - b):
   • cos^2(a + b) = (cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b))^2
     • = cos^2(a)cos^2(b) - 2cos(a)cos(b)sin(a)sin(b) + sin^2(a)sin^2(b)
   • cos^2(a - b) = (cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b))^2
     • = cos^2(a)cos^2(b) + 2cos(a)cos(b)sin(a)sin(b) + sin^2(a)sin^2(b)
3. Теперь сложим эти два выражения:
   • cos^2(a + b) + cos^2(a - b) = (cos^2(a)cos^2(b) - 2cos(a)cos(b)sin(a)sin(b) + sin^2(a)sin^2(b)) + (cos^2(a)cos^2(b) + 2cos(a)cos(b)sin(a)sin(b))
   • = 2cos^2(a)cos^2(b) + sin^2(a)sin^2(b)
4. Теперь найдем cos2a и cos2b:
   • cos2a = cos^2(a) - sin^2(a)
   • cos2b = cos^2(b) - sin^2(b)
5. Теперь вычислим произведение cos2a * cos2b:
   • cos2a * cos2b = (cos^2(a) - sin^2(a))(cos^2(b) - sin^2(b))
     • = cos^2(a)cos^2(b) - cos^2(a)sin^2(b) - sin^2(a)cos^2(b) + sin^2(a)sin^2(b)
6. Теперь подставим всё это в исходное тождество:
   • cos^2(a+b) + cos^2(a-b) - cos2a * cos2b = (2cos^2(a)cos^2(b) + sin^2(a)sin^2(b)) - (cos^2(a)cos^2(b) - cos^2(a)sin^2(b) - sin^2(a)cos^2(b) + sin^2(a)sin^2(b))
   • = 2cos^2(a)cos^2(b) + sin^2(a)sin^2(b) - cos^2(a)cos^2(b) + cos^2(a)sin^2(b) + sin^2(a)cos^2(b) - sin^2(a)sin^2(b)
   • = cos^2(a)cos^2(b) + cos^2(a)sin^2(b) + sin^2(a)cos^2(b)
   • = cos^2(a)(cos^2(b) + sin^2(b)) = cos^2(a) * 1 = cos^2(a)
   • = 1

Таким образом, мы доказали, что cos^2(a+b) + cos^2(a-b) - cos2a * cos2b = 1.