Как можно исследовать функцию и построить её график: у = х^4 + 5*x^2?

Алгебра 11 класс Исследование функций исследование функции построение графика алгебра 11 класс у = х^4 + 5*x^2 анализ графика функции Новый

Чтобы исследовать функцию у = х^4 + 5*x^2 и построить её график, нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку:

1. Определение области определения:

Функция у = х^4 + 5*x^2 является многочленом, а значит, она определена для всех значений х. Таким образом, область определения – это все действительные числа: х ∈ R.

2. Нахождение производной:

Чтобы исследовать функцию, необходимо найти её производную:

• у' = d(х^4)/dx + d(5*x^2)/dx = 4*x^3 + 10*x.

Теперь у нас есть производная у, которую мы будем использовать для нахождения критических точек.

3. Нахождение критических точек:

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Найдем, где у' = 0:

• 4*x^3 + 10*x = 0
• 10*x + 4*x^3 = 0
• x(4*x^2 + 10) = 0.

Из этого уравнения видно, что:

• x = 0 (первая критическая точка).
• 4*x^2 + 10 = 0 не имеет действительных решений, так как 4*x^2 всегда положительно, а 10 – положительное число.

4. Исследование знака производной:

Теперь исследуем знак производной у' на интервалах, определенных критической точкой:

• Для x < 0: подставим, например, x = -1: у'(-1) = 4*(-1)^3 + 10*(-1) = -4 - 10 = -14 (производная отрицательна).
• Для x > 0: подставим, например, x = 1: у'(1) = 4*(1)^3 + 10*(1) = 4 + 10 = 14 (производная положительна).

Таким образом, у нас есть:

• На интервале (-∞, 0) функция у убывает;
• На интервале (0, +∞) функция у возрастает.

5. Нахождение второго производной:

Теперь найдем вторую производную, чтобы исследовать выпуклость функции:

• у'' = d(4*x^3 + 10*x)/dx = 12*x^2 + 10.

Вторая производная у'' всегда положительна, так как 12*x^2 + 10 > 0 для всех x. Это означает, что функция у = х^4 + 5*x^2 является выпуклой на всей области определения.

6. Нахождение значений функции в критических точках:

Теперь подставим x = 0 в исходное уравнение:

• у(0) = 0^4 + 5*0^2 = 0.

Это точка минимума, так как функция убывает до нее и возрастает после.

7. Построение графика:

Теперь мы можем построить график функции. Мы знаем, что:

• Минимум в точке (0, 0);
• Функция убывает на (-∞, 0) и возрастает на (0, +∞);
• Функция выпуклая на всей области определения.

График будет иметь форму "U", с минимальной точкой в (0, 0) и будет стремиться к бесконечности как в положительном, так и в отрицательном направлении по оси х.

Таким образом, мы исследовали функцию у = х^4 + 5*x^2 и построили её график, основываясь на этих анализах.