Исследование функции с помощью метода дифференциального исчисления включает в себя несколько шагов, таких как нахождение производной, определение критических точек, исследование знака производной и построение графика. Давайте рассмотрим оба случая по порядку.

1. Нахождение производной:

   Для нахождения производной функции y = (x² - 1) / (x² + 1) применим правило деления:

   y' = ( (x² + 1)(2x) - (x² - 1)(2x) ) / (x² + 1)².

   Упростим производную:

   y' = (2x(x² + 1 - x² + 1)) / (x² + 1)² = (4x) / (x² + 1)².

2. Определение критических точек:

   Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не существует. Приравняем производную к нулю:

   4x = 0 → x = 0.

3. Исследование знака производной:

   Рассмотрим знак производной на интервалах: (-∞, 0) и (0, +∞).

   • Для x < 0: y' < 0 (функция убывает).
   • Для x > 0: y' > 0 (функция возрастает).
4. Построение графика:

   График функции будет иметь минимум в точке x = 0. Также следует найти значения функции в крайних точках:

   При x → ±∞, y → 1. Значит, горизонтальная асимптота y = 1.

1. Нахождение производной:

   Для функции y = 2x - tan x производная будет:

   y' = 2 - sec²(x).

2. Определение критических точек:

   Критические точки находятся из уравнения:

   2 - sec²(x) = 0 → sec²(x) = 2 → cos²(x) = 1/2 → cos(x) = ±√(1/2) → x = ±π/4 + kπ, где k - целое число.

3. Исследование знака производной:

   Проверим знак производной в интервалах, определенных критическими точками. Например, между -π/4 и π/4:

   • Для x < -π/4: y' > 0 (функция возрастает).
   • Для -π/4 < x < π/4: y' < 0 (функция убывает).
   • Для x > π/4: y' > 0 (функция возрастает).
4. Построение графика:

   График функции будет иметь максимум в точке x = 0 и минимум в точках x = ±π/4.

   Также следует учитывать, что tan x имеет вертикальные асимптоты в точках x = π/2 + kπ.

После выполнения всех шагов, можно построить графики обеих функций с учетом найденных критических точек, знаков производной и асимптот. Это поможет визуально понять поведение функций на различных интервалах.