Для нахождения предела данной последовательности, мы можем воспользоваться теоремой о зажатой последовательности. Начнем с анализа выражения, которое нам дано:

lim (n→∞) √[n]{(2n^3 - 7n + 3)/(2n + 11)}.

Первым шагом будет упрощение выражения внутри корня. Мы можем выделить главный член в числителе и знаменателе:

• В числителе: 2n^3 - 7n + 3, главный член - 2n^3.
• В знаменателе: 2n + 11, главный член - 2n.

Теперь можем переписать дробь, выделив главный член:

(2n^3 - 7n + 3)/(2n + 11) = (2n^3(1 - 7/(2n^2) + 3/(2n^3))) / (2n(1 + 11/(2n))).

Теперь упростим это выражение:

=(n^2 * (1 - 7/(2n^2) + 3/(2n^3))) / (1 + 11/(2n)).

Теперь, когда n стремится к бесконечности, дроби с n в знаменателе стремятся к нулю:

• 7/(2n^2) → 0,
• 3/(2n^3) → 0,
• 11/(2n) → 0.

Таким образом, мы можем сказать, что:

lim (n→∞) (2n^3 - 7n + 3)/(2n + 11) = lim (n→∞) (n^2 * (1 - 0 + 0)) / (1 + 0) = lim (n→∞) n^2 = ∞.

Теперь, возвращаясь к нашему пределу:

lim (n→∞) √[n]{(2n^3 - 7n + 3)/(2n + 11)} = lim (n→∞) √[n]{n^2} = lim (n→∞) n^(2/n).

Теперь рассмотрим предел n^(2/n). Мы знаем, что 2/n стремится к 0, когда n стремится к бесконечности:

lim (n→∞) n^(2/n) = e^(lim (n→∞) (2/n) * ln(n)).

Поскольку ln(n) растет медленно по сравнению с n, мы можем утверждать, что:

lim (n→∞) (2/n) * ln(n) = 0.

Следовательно, e^0 = 1.

Таким образом, предел последовательности равен: