Похожие вопросы
2025-10-24 17:51:47
Задача 1. Доказать, что предел последовательности a_n равен a при n, стремящемся к бесконечности (указать N(ε)).
8. a_n = (4n-3)/(2n+1), a = 2.
Алгебра 11 класс Предел последовательности алгебра 11 класс предел последовательности доказать предел a_n равен a n стремится к бесконечности N(ε)
2025-10-24 17:52:05
Чтобы доказать, что предел последовательности a_n равен a при n, стремящемся к бесконечности, мы будем использовать определение предела. В данном случае, нам нужно показать, что для любого ε > 0 существует такое натуральное число N(ε), что для всех n > N(ε) выполняется неравенство |a_n - a| < ε.
Дана последовательность a_n = (4n - 3)/(2n + 1) и предел a = 2. Начнем с того, что найдем |a_n - a|:
- Сначала подставим значение a:
|a_n - a| = |(4n - 3)/(2n + 1) - 2|.
- Теперь упростим это выражение:
|(4n - 3)/(2n + 1) - 2| = |(4n - 3)/(2n + 1) - (2(2n + 1))/(2n + 1)| = |(4n - 3 - (4n + 2))/(2n + 1)| = |(-5)/(2n + 1|.
Теперь у нас есть:
|a_n - 2| = |(-5)/(2n + 1)| = 5/(2n + 1).
Теперь нам нужно сделать так, чтобы 5/(2n + 1) < ε. Для этого решим неравенство:
- 5/(2n + 1) < ε
- Умножим обе стороны на (2n + 1) (это положительное число, так как n > 0):
- 5 < ε(2n + 1)
- 5 < 2nε + ε
- 5 - ε < 2nε
- n > (5 - ε)/(2ε).
Теперь мы можем выбрать N(ε) = ceil((5 - ε)/(2ε)), где ceil обозначает округление вверх до ближайшего целого числа. Таким образом, мы можем утверждать, что для всех n > N(ε) выполняется неравенство |a_n - 2| < ε.
Таким образом, мы доказали, что предел последовательности a_n при n, стремящемся к бесконечности, равен 2.