Определение первообразной функции — это процесс нахождения функции, производная которой равна данной функции. Давайте разберемся, как найти первообразную для каждой из предложенных функций.

1. Для функции f(x) = 2x:

Нам нужно найти такую функцию F(x), производная которой равна 2x. Вспомним правило нахождения производной для функции вида x^n: производная от x^n равна n * x^(n-1).

• Исходная функция: f(x) = 2x.
• Мы знаем, что производная от x^2 равна 2x. Следовательно, первообразная для 2x будет x^2.
• Таким образом, F(x) = x^2 + C, где C — произвольная постоянная. Это связано с тем, что производная от константы равна нулю, и она не влияет на производную функции.

2. Для функции f(x) = x²:

Теперь нам нужно найти такую функцию F(x), производная которой равна x².

• Исходная функция: f(x) = x².
• Чтобы найти первообразную, применим обратное правило нахождения производной: если f(x) = x^n, то F(x) = (x^(n+1))/(n+1) + C.
• В нашем случае n = 2, следовательно, F(x) = (x^(2+1))/(2+1) = x^3/3 + C.
• Таким образом, F(x) = x^3/3 + C, где C — произвольная постоянная.

Итак, для каждой из функций мы определили первообразные:

• Для f(x) = 2x, первообразная F(x) = x^2 + C.
• Для f(x) = x², первообразная F(x) = x^3/3 + C.