Как можно решить неравенство log1/6(x ^ 2 - 6x + 8) > - 1?

Алгебра 11 класс Неравенства с логарифмами решение неравенства логарифмическое неравенство алгебра 11 класс Новый

Для решения неравенства log_1/6(x² - 6x + 8) > -1, давайте будем действовать поэтапно.

Шаг 1: Преобразуем логарифмическое неравенство.

Сначала преобразуем неравенство в экспоненциальную форму. Напомним, что log_a(b) > c эквивалентно b > a^c, если a < 1. В нашем случае a = 1/6, следовательно:

x² - 6x + 8 > (1/6)^-1.

Шаг 2: Упростим правую часть неравенства.

Теперь вычислим (1/6)^-1:

(1/6)^-1 = 6.

Таким образом, неравенство принимает вид:

x² - 6x + 8 > 6.

Шаг 3: Переносим все в одну сторону.

Теперь перенесем 6 в левую часть:

x² - 6x + 8 - 6 > 0.

Это упрощается до:

x² - 6x + 2 > 0.

Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения.

Для нахождения корней уравнения x² - 6x + 2 = 0 используем дискриминант:

• D = b² - 4ac = (-6)² - 4 * 1 * 2 = 36 - 8 = 28.

Корни уравнения находятся по формуле:

• x_1,2 = (6 ± √D) / 2 = (6 ± √28) / 2 = (6 ± 2√7) / 2 = 3 ± √7.

Таким образом, корни уравнения:

x₁ = 3 - √7, x₂ = 3 + √7.

Шаг 5: Анализируем знак квадратного выражения.

Теперь нам нужно определить, где выражение x² - 6x + 2 > 0. Для этого рассмотрим промежутки, которые определяются корнями:

• (-∞, 3 - √7)
• (3 - √7, 3 + √7)
• (3 + √7, +∞)

Теперь проверим знак на каждом из этих промежутков:

• Для x < 3 - √7: выберем, например, x = 0. Подставляем: 0² - 6*0 + 2 = 2 > 0.
• Для 3 - √7 < x < 3 + √7: выберем, например, x = 3. Подставляем: 3² - 6*3 + 2 = 9 - 18 + 2 = -7 < 0.
• Для x > 3 + √7: выберем, например, x = 5. Подставляем: 5² - 6*5 + 2 = 25 - 30 + 2 = -3 < 0.

Шаг 6: Записываем ответ.

Таким образом, выражение x² - 6x + 2 > 0 выполняется на промежутке:

x < 3 - √7.

Ответ: x < 3 - √7.