Как можно решить такие уравнения: 4) Корень из 3 ctg (п/3 - X) = 3 и 5) 3 sin^2 x = cos^2 x?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнений алгебра 11 класс корень из 3 ctg 3 sin^2 x cos^2 x тригонометрические уравнения математические задачи алгебраические уравнения Новый

Давайте рассмотрим оба уравнения по очереди и разберем, как их решать.

Уравнение 4: Корень из 3 ctg (п/3 - X) = 3

Для начала, упростим это уравнение. Мы можем избавиться от корня, возведя обе стороны уравнения в квадрат:

1. Корень из 3 ctg (п/3 - X) = 3
2. Возводим обе стороны в квадрат: 3 ctg^2 (п/3 - X) = 9
3. Теперь делим обе стороны на 3: ctg^2 (п/3 - X) = 3

Теперь мы можем выразить ctg (п/3 - X):

1. ctg (п/3 - X) = ±√3

Теперь, используя определение котангенса, мы можем записать:

1. ctg (п/3 - X) = cos (п/3 - X) / sin (п/3 - X)

Таким образом, у нас есть два случая:

• cos (п/3 - X) = √3 sin (п/3 - X)
• cos (п/3 - X) = -√3 sin (п/3 - X)

Решим первый случай:

1. tan (п/3 - X) = 1/√3
2. п/3 - X = п/6 + nπ или п/3 - X = 5п/6 + nπ, где n - целое число.
3. Отсюда X = п/3 - п/6 - nπ или X = п/3 - 5п/6 - nπ.

Теперь решим второй случай:

1. tan (п/3 - X) = -1/√3
2. п/3 - X = -п/6 + nπ или п/3 - X = 7п/6 + nπ.
3. Отсюда X = п/3 + п/6 - nπ или X = п/3 - 7п/6 - nπ.

Таким образом, мы нашли все возможные значения X для данного уравнения.

Уравнение 5: 3 sin^2 x = cos^2 x

Для начала, мы можем воспользоваться основным тригонометрическим тождеством: sin^2 x + cos^2 x = 1. Из этого тождества выразим cos^2 x:

1. cos^2 x = 1 - sin^2 x.

Теперь подставим это в наше уравнение:

1. 3 sin^2 x = 1 - sin^2 x.

Теперь соберем все слагаемые с sin^2 x в одну сторону:

1. 3 sin^2 x + sin^2 x = 1
2. 4 sin^2 x = 1.

Теперь делим обе стороны на 4:

1. sin^2 x = 1/4.

Теперь находим sin x:

1. sin x = ±1/2.

Теперь мы можем найти x. Известно, что sin x = 1/2 при x = π/6 + 2nπ и x = 5π/6 + 2nπ, а sin x = -1/2 при x = 7π/6 + 2nπ и x = 11π/6 + 2nπ, где n - целое число.

Таким образом, мы нашли все возможные значения x для второго уравнения.