Для решения уравнения 5ctg^2(x) - 1/sin^2(x) = 11, начнем с преобразования и упрощения выражений. Давайте разберем шаги решения.

1. Перепишем уравнение: У нас есть 5ctg^2(x) и 1/sin^2(x). Напомним, что ctg(x) = cos(x)/sin(x), поэтому ctg^2(x) = cos^2(x)/sin^2(x). Таким образом, 5ctg^2(x) можно переписать как 5cos^2(x)/sin^2(x).
2. Заменим ctg^2(x) в уравнении: Подставляем это в уравнение:

5 * (cos^2(x)/sin^2(x)) - 1/sin^2(x) = 11

3. Объединим дроби: Приведем к общему знаменателю:

(5cos^2(x) - 1) / sin^2(x) = 11

4. Умножим обе стороны на sin^2(x): Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе стороны уравнения на sin^2(x) (при условии, что sin(x) ≠ 0):

5cos^2(x) - 1 = 11sin^2(x)

5. Используем тригонометрическую идентичность: Напомним, что cos^2(x) + sin^2(x) = 1. Таким образом, мы можем выразить cos^2(x) через sin^2(x): cos^2(x) = 1 - sin^2(x).
6. Подставим cos^2(x): Заменим cos^2(x) в уравнении:

5(1 - sin^2(x)) - 1 = 11sin^2(x)

7. Упростим уравнение: Раскроем скобки:

5 - 5sin^2(x) - 1 = 11sin^2(x)

4 - 5sin^2(x) = 11sin^2(x)

8. Соберем все слагаемые с sin^2(x): Переносим все члены на одну сторону:

4 = 11sin^2(x) + 5sin^2(x)

4 = 16sin^2(x)

9. Решим уравнение: Разделим обе стороны на 16:

sin^2(x) = 4/16

sin^2(x) = 1/4

10. Извлечем корень: Теперь извлекаем корень из обеих сторон:

sin(x) = ±1/2

11. Найдём углы: Значение sin(x) = 1/2 соответствует углам x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ, где k – любое целое число. Значение sin(x) = -1/2 соответствует углам x = 7π/6 + 2kπ и x = 11π/6 + 2kπ.

Таким образом, общее решение уравнения выглядит следующим образом:

x = π/6 + 2kπ, x = 5π/6 + 2kπ, x = 7π/6 + 2kπ, x = 11π/6 + 2kπ, где k – любое целое число.