Как можно решить уравнение tg^2a + ctg^2a, если известно, что tga + ctga = 3? Срочно, пожалуйста!

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс tg^2a ctg^2a tga + ctga = 3 математические задачи тригонометрические функции Новый

Давайте решим уравнение tg²a + ctg²a, используя данное условие tga + ctga = 3.

Сначала вспомним, что ctg(a) – это обратная функция tg(a), то есть ctg(a) = 1/tg(a). Обозначим tg(a) как x. Тогда ctg(a) можно выразить как 1/x. Подставим это в наше уравнение:

• tg(a) = x
• ctg(a) = 1/x

Теперь подставим это в условие:

x + 1/x = 3.

Умножим обе стороны уравнения на x, чтобы избавиться от дроби:

x² + 1 = 3x.

Теперь перенесем все в одну сторону:

x² - 3x + 1 = 0.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-3)² - 4 * 1 * 1 = 9 - 4 = 5.

Так как дискриминант положительный, у уравнения есть два различных корня:

• x1 = (3 + √5)/2,
• x2 = (3 - √5)/2.

Теперь вернемся к нашему первоначальному уравнению tg²a + ctg²a. Мы можем выразить его через x:

tg²a + ctg²a = x² + (1/x)².

Упрощаем (1/x)²:

(1/x)² = 1/x².

Следовательно:

tg²a + ctg²a = x² + 1/x².

Теперь воспользуемся формулой для преобразования:

x² + 1/x² = (x + 1/x)² - 2.

Мы знаем, что x + 1/x = 3, поэтому:

(x + 1/x)² = 3² = 9.

Теперь подставим это значение в нашу формулу:

tg²a + ctg²a = 9 - 2 = 7.

Таким образом, мы получили окончательный ответ:

tg²a + ctg²a = 7.