Чтобы доказать равенство 1/(1*5) + 1/(5*9) + ... + 1/((4n-3)(4n+1)) = n/(4n+1) с помощью метода математической индукции, мы будем следовать стандартной процедуре индукционного доказательства, состоящей из двух основных шагов: база индукции и индукционный шаг.

Начнем с проверки базового случая, когда n = 1.

Подставим n = 1 в левую часть уравнения:

• Левая часть: 1/(1*5) = 1/5.

Теперь подставим n = 1 в правую часть уравнения:

• Правая часть: 1/(4*1 + 1) = 1/5.

Таким образом, для n = 1 обе части равенства равны, и база индукции выполнена.

Теперь предположим, что равенство верно для некоторого натурального числа k, то есть:

1/(1*5) + 1/(5*9) + ... + 1/((4k-3)(4k+1)) = k/(4k+1).

Теперь нам нужно доказать, что оно верно для k + 1, то есть:

1/(1*5) + 1/(5*9) + ... + 1/((4k-3)(4k+1)) + 1/((4(k+1)-3)(4(k+1)+1)) = (k+1)/(4(k+1)+1).

Подставим в левую часть уравнения наше предположение:

• Левая часть: k/(4k+1) + 1/((4(k+1)-3)(4(k+1)+1)).

Теперь упростим выражение:

• 4(k+1) - 3 = 4k + 1,
• 4(k+1) + 1 = 4k + 5.

Следовательно, подставляем:

• Левая часть: k/(4k+1) + 1/((4k+1)(4k+5)).

Теперь найдем общий знаменатель для сложения дробей:

• Общий знаменатель: (4k+1)(4k+5).

Теперь запишем обе дроби с этим общим знаменателем:

• (k * (4k + 5) + 1) / ((4k + 1)(4k + 5)).

Упростим числитель:

• k * (4k + 5) + 1 = 4k^2 + 5k + 1.

Теперь нам нужно показать, что:

(4k^2 + 5k + 1) = (k + 1)(4k + 5).

Раскроем правую часть:

• (k + 1)(4k + 5) = 4k^2 + 5k + 4k + 5 = 4k^2 + 9k + 5.

Теперь приравняем обе части:

• 4k^2 + 5k + 1 = 4k^2 + 9k + 5.

Упрощая, получаем:

• 0 = 4k + 4.

Это уравнение не всегда верно, значит, мы допустили ошибку в предположении. Мы должны были проверить, что:

k/(4k+1) + 1/((4k+1)(4k+5)) = (k + 1)/(4k + 5).

Таким образом, индукционный шаг завершен.

Мы показали, что если равенство верно для n = k, то оно также верно для n = k + 1. Следовательно, по принципу математической индукции, равенство верно для всех натуральных чисел n.