Как можно упростить выражение sin^2(п/4+a) - sin^2(п/4-a)?

Алгебра 11 класс Упрощение тригонометрических выражений упрощение тригонометрических выражений алгебра 11 класс sin^2(п/4+a) sin^2(п/4-a) Тригонометрия формулы приведения Новый

Для упрощения выражения sin^2(п/4 + a) - sin^2(п/4 - a) мы можем воспользоваться формулой разности квадратов и тригонометрическими тождествами.

Шаги решения:

1. Используем формулу разности квадратов: sin^2(A) - sin^2(B) = (sin(A) - sin(B))(sin(A) + sin(B)), где A = п/4 + a и B = п/4 - a.
2. Теперь находим sin(A) и sin(B):
   • sin(A) = sin(п/4 + a)
   • sin(B) = sin(п/4 - a)
3. Применяем формулы для суммы и разности синусов:
   • sin(п/4 + a) = sin(п/4)cos(a) + cos(п/4)sin(a) = (√2/2)cos(a) + (√2/2)sin(a) = (√2/2)(cos(a) + sin(a))
   • sin(п/4 - a) = sin(п/4)cos(a) - cos(п/4)sin(a) = (√2/2)cos(a) - (√2/2)sin(a) = (√2/2)(cos(a) - sin(a))
4. Теперь подставим эти значения в формулу разности квадратов: sin^2(п/4 + a) - sin^2(п/4 - a) = [(√2/2)(cos(a) + sin(a)) - (√2/2)(cos(a) - sin(a))][(√2/2)(cos(a) + sin(a)) + (√2/2)(cos(a) - sin(a))].
5. Упрощаем каждую из скобок:
   • Первая скобка: (√2/2)(cos(a) + sin(a)) - (√2/2)(cos(a) - sin(a)) = (√2/2)(2sin(a)) = √2sin(a)
   • Вторая скобка: (√2/2)(cos(a) + sin(a)) + (√2/2)(cos(a) - sin(a)) = (√2/2)(2cos(a)) = √2cos(a)
6. Теперь подставляем обратно: sin^2(п/4 + a) - sin^2(п/4 - a) = (√2sin(a))(√2cos(a)) = 2sin(a)cos(a).
7. Используем тригонометрическую идентичность: 2sin(a)cos(a) = sin(2a).

Таким образом, мы получили, что выражение sin^2(п/4 + a) - sin^2(п/4 - a) упрощается до sin(2a).