Как можно упростить выражение tga + 2tg2a + 4ctg4a?

Алгебра 11 класс Упрощение тригонометрических выражений Упрощение выражения алгебра 11 класс тригонометрические функции tga tg²a ctg4a математические выражения Новый

Чтобы упростить выражение tga + 2tg2a + 4ctg4a, давайте разберем каждую его часть и попробуем привести к общему виду.

Шаг 1: Заменим тангенсы и котангенсы

• tga = tan(a)
• tg2a = tan(2a)
• ctg4a = cot(4a) = 1/tan(4a)

Таким образом, наше выражение можно записать как:

tan(a) + 2tan(2a) + 4(1/tan(4a))

Шаг 2: Используем формулы двойного угла

Мы знаем, что:

• tan(2a) = 2tan(a)/(1 - tan^2(a))
• tan(4a) = 2tan(2a)/(1 - tan^2(2a))

Подставим эти формулы в наше выражение:

tan(a) + 2(2tan(a)/(1 - tan^2(a))) + 4(1/(2tan(2a)/(1 - tan^2(2a))))

Шаг 3: Упростим дроби

Первую часть оставим как есть, а вторую и третью упростим:

• 2(2tan(a)/(1 - tan^2(a))) = 4tan(a)/(1 - tan^2(a))
• 4(1/(2tan(2a)/(1 - tan^2(2a)))) = 2(1 - tan^2(2a))/tan(2a)

Теперь наше выражение выглядит так:

tan(a) + 4tan(a)/(1 - tan^2(a)) + 2(1 - tan^2(2a))/tan(2a)

Шаг 4: Приведем подобные

Теперь необходимо привести все части к общему знаменателю и упростить. Это может быть довольно сложным, и потребуется много алгебраических манипуляций.

Однако, если мы не хотим углубляться в сложные преобразования, можно просто оставить выражение в том виде, в котором оно есть, или использовать численные значения для конкретных углов.

Заключение

Упрощение тригонометрических выражений может быть довольно сложным, и иногда проще оставить ответ в виде, близком к исходному. Если у вас есть конкретные значения для a, вы можете подставить их и вычислить численный ответ.