Как найти решение неравенства -4x^2 + 4x + 17 ≥ (x - 5)^2?

Алгебра 11 класс Неравенства с квадратными выражениями решение неравенства алгебра 11 класс неравенства квадратные выражения метод решения неравенств Новый

Чтобы решить неравенство -4x^2 + 4x + 17 ≥ (x - 5)^2, давайте сначала упростим его, перенесем все элементы в одну сторону и приведем к стандартному виду.

1. Раскроем скобки на правой стороне:

(x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25.

2. Перепишем неравенство:

-4x^2 + 4x + 17 ≥ x^2 - 10x + 25.

3. Переносим все элементы на одну сторону:

-4x^2 + 4x + 17 - x^2 + 10x - 25 ≥ 0.

4. Соберем подобные члены:

-(4x^2 + x^2) + (4x + 10x) + (17 - 25) ≥ 0.

-5x^2 + 14x - 8 ≥ 0.

5. Умножим неравенство на -1: (не забываем поменять знак неравенства)

5x^2 - 14x + 8 ≤ 0.

6. Теперь найдем корни квадратного уравнения 5x^2 - 14x + 8 = 0:

Используем дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 5, b = -14, c = 8.

• D = (-14)^2 - 4 * 5 * 8 = 196 - 160 = 36.
7. Корни уравнения:

x1,2 = (14 ± √36) / (2 * 5) = (14 ± 6) / 10.

• x1 = (14 + 6) / 10 = 20 / 10 = 2.
• x2 = (14 - 6) / 10 = 8 / 10 = 0.8.
8. Теперь мы знаем корни: x1 = 2 и x2 = 0.8.

Следующий шаг - определить знаки многочлена 5x^2 - 14x + 8 на интервалах, определяемых корнями: (-∞, 0.8), (0.8, 2), (2, +∞).

9. Тестируем знаки на каждом интервале:
• Для x < 0.8 (например, x = 0): 5(0)^2 - 14(0) + 8 = 8 > 0.
• Для 0.8 < x < 2 (например, x = 1): 5(1)^2 - 14(1) + 8 = 5 - 14 + 8 = -1 < 0.
• Для x > 2 (например, x = 3): 5(3)^2 - 14(3) + 8 = 45 - 42 + 8 = 11 > 0.
10. Теперь мы можем записать решение:

Неравенство 5x^2 - 14x + 8 ≤ 0 выполняется на интервале [0.8, 2].

Ответ: Решение неравенства -4x^2 + 4x + 17 ≥ (x - 5)^2: x ∈ [0.8, 2].