Как решаются уравнения типа: 2^(x+2) - 2^x = 96 и 3^(x+2) + 3^(x-1) = 28?

Алгебра 11 класс Уравнения с показательной функцией решение уравнений алгебра 11 класс уравнения с показателями 2^(x+2) - 2^x = 96 3^(x+2) + 3^(x-1) = 28 Новый

Решение уравнений, содержащих степени, требует применения свойств степеней и иногда замены переменных. Давайте рассмотрим оба примера по шагам.

1. Уравнение: 2^(x+2) - 2^x = 96

Первый шаг заключается в том, чтобы упростить выражение. Мы можем выразить 2^(x+2) через 2^x:

• 2^(x+2) = 2^x * 2^2 = 2^x * 4.

Теперь подставим это в уравнение:

• 4 * 2^x - 2^x = 96.

Теперь вынесем 2^x за скобки:

• (4 - 1) * 2^x = 96.

Это упрощается до:

• 3 * 2^x = 96.

Теперь разделим обе стороны на 3:

• 2^x = 32.

Теперь мы знаем, что 32 = 2^5, поэтому:

• x = 5.

Таким образом, решение уравнения 2^(x+2) - 2^x = 96: x = 5.

2. Уравнение: 3^(x+2) + 3^(x-1) = 28

В этом уравнении мы также можем использовать свойства степеней. Начнем с того, чтобы выразить 3^(x+2) и 3^(x-1):

• 3^(x+2) = 3^x * 3^2 = 9 * 3^x,
• 3^(x-1) = 3^x * 3^(-1) = 3^x / 3 = 1/3 * 3^x.

Теперь подставим это в уравнение:

• 9 * 3^x + (1/3) * 3^x = 28.

Сложим оба слагаемых:

• (9 + 1/3) * 3^x = 28.

Для удобства преобразуем 9 в дробь:

• 9 = 27/3, так что 9 + 1/3 = 27/3 + 1/3 = 28/3.

Теперь у нас есть:

• (28/3) * 3^x = 28.

Теперь разделим обе стороны на 28:

• (3/3) * 3^x = 1.

Это упрощается до:

• 3^x = 1.

Мы знаем, что 1 = 3^0, поэтому:

• x = 0.

Таким образом, решение уравнения 3^(x+2) + 3^(x-1) = 28: x = 0.

В итоге, мы получили решения:

• Для первого уравнения: x = 5.
• Для второго уравнения: x = 0.