Чтобы решить биквадратное уравнение, такое как x⁴ - 5x² - 36 = 0, мы можем использовать замену переменной. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Замена переменной: Обозначим y = x². Тогда уравнение x⁴ - 5x² - 36 = 0 можно переписать как:
• y² - 5y - 36 = 0.
2. Решение квадратного уравнения: Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно y. Мы можем решить его с помощью дискриминанта:
• Дискриминант D = b² - 4ac, где a = 1, b = -5, c = -36.
• Подставим значения: D = (-5)² - 4 * 1 * (-36) = 25 + 144 = 169.
3. Нахождение корней: Так как дискриминант положителен, у нас есть два различных корня:
• y₁ = (5 + √169) / 2 = (5 + 13) / 2 = 18 / 2 = 9,
• y₂ = (5 - √169) / 2 = (5 - 13) / 2 = -8 / 2 = -4.
4. Обратная замена: Теперь вернемся к переменной x. Мы знаем, что y = x², поэтому получаем:
• Для y₁ = 9: x² = 9, тогда x = ±3.
• Для y₂ = -4: x² = -4, но это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.
5. Итог: Таким образом, единственные действительные корни уравнения x⁴ - 5x² - 36 = 0:
• x₁ = 3,
• x₂ = -3.

Ответ: x = 3 и x = -3.