Чтобы решить интеграл ∫ sin³(2x) dx, мы можем использовать подход, основанный на использовании тригонометрических идентичностей и подстановок. Давайте разберем шаги решения подробно.

1. Используем тригонометрическую идентичность: Мы можем выразить sin³(2x) через синус и косинус. Для этого воспользуемся формулой:
• sin³(θ) = (3sin(θ) - sin(3θ)) / 4
2. Применяем формулу: Подставим θ = 2x в нашу формулу:
• sin³(2x) = (3sin(2x) - sin(6x)) / 4
3. Записываем интеграл: Теперь мы можем переписать наш интеграл:
• ∫ sin³(2x) dx = ∫ (3sin(2x) - sin(6x)) / 4 dx
• = (1/4) ∫ (3sin(2x) - sin(6x)) dx
4. Решаем интеграл: Теперь мы можем решить интеграл по частям:
• ∫ sin(2x) dx = -1/2 cos(2x) + C
• ∫ sin(6x) dx = -1/6 cos(6x) + C
5. Подставляем результаты обратно: Теперь подставим найденные интегралы:
• ∫ (3sin(2x) - sin(6x)) dx = 3(-1/2 cos(2x)) - (-1/6 cos(6x))
• = -3/2 cos(2x) + 1/6 cos(6x)
6. Итоговый ответ: Теперь подставим это выражение обратно в наш интеграл:
• ∫ sin³(2x) dx = (1/4)(-3/2 cos(2x) + 1/6 cos(6x)) + C
• = -3/8 cos(2x) + 1/24 cos(6x) + C

Таким образом, окончательный ответ на интеграл ∫ sin³(2x) dx будет:

-3/8 cos(2x) + 1/24 cos(6x) + C