Как решить неравенство: 2 log2(x-1) - log2(2x-4) > 1, при условии, что основание логарифма равно 2?

Алгебра 11 класс Неравенства с логарифмами решение неравенства логарифмическое неравенство алгебра 11 класс логарифмы основание логарифма 2 неравенства в алгебре Новый

Чтобы решить неравенство 2 log2(x-1) - log2(2x-4) > 1, следуем следующим шагам:

1. Применяем свойства логарифмов. Мы можем использовать свойства логарифмов для упрощения выражения. Во-первых, вспомним, что a logb(c) = logb(c^a) и logb(a) - logb(c) = logb(a/c). Применим эти свойства:
• 2 log2(x-1) можно записать как log2((x-1)^2).
• Таким образом, у нас получается: log2((x-1)^2) - log2(2x-4) > 1.
2. Объединяем логарифмы. Используя свойство логарифмов, мы можем объединить логарифмы в одно выражение:
• log2((x-1)^2 / (2x-4)) > 1.
3. Переводим неравенство в экспоненциальную форму. Мы знаем, что если log2(a) > b, то a > 2^b. Применим это к нашему неравенству:
• (x-1)^2 / (2x-4) > 2^1.
• Это упрощается до: (x-1)^2 / (2x-4) > 2.
4. Убираем дробь. Умножаем обе стороны на (2x-4), учитывая, что (2x-4) должно быть положительным:
• (x-1)^2 > 2(2x-4).
5. Раскрываем скобки. Упростим правую часть:
• (x-1)^2 > 4x - 8.
• x^2 - 2x + 1 > 4x - 8.
6. Переносим все в одну сторону. Получаем:
• x^2 - 6x + 9 > 0.
7. Факторизуем. Заметим, что выражение можно записать как:
• (x - 3)^2 > 0.
8. Анализируем неравенство. Квадрат любого числа больше нуля, кроме нуля. Таким образом, (x - 3)^2 > 0, когда x ≠ 3.

<li><strong>Учитываем область определения логарифмов.</strong> Логарифмы определены, когда их аргументы положительны:</li>
<ul>
    <li>x - 1 > 0  => x > 1.</li>
    <li>2x - 4 > 0 => x > 2.</li>
</ul>

<li><strong>Объединяем условия.</strong> У нас есть два условия: x > 2 и x ≠ 3. Поэтому окончательное решение:</li>
<ul>
    <li>x > 2, x ≠ 3.</li>
</ul>

Таким образом, ответом на неравенство будет: x ∈ (2, 3) ∪ (3, +∞).