Как решить неравенство: (log_0,5(x^2))/(log_0,5(1/4x)) >= log_0,5(x^2)?

Алгебра 11 класс Неравенства с логарифмами решение неравенств алгебра 11 класс логарифмы неравенства с логарифмами учебник по алгебре подготовка к экзаменам Новый

Чтобы решить неравенство (log_0,5(x^2))/(log_0,5(1/4x)) >= log_0,5(x^2), давайте разберем его шаг за шагом.

Шаг 1: Преобразуем логарифмы

Первое, что мы сделаем, это упростим логарифмы. Используя свойства логарифмов, мы можем записать:

• log_0,5(x^2) = 2 * log_0,5(x)
• log_0,5(1/4x) = log_0,5(1/4) + log_0,5(x) = log_0,5(1) - log_0,5(4) + log_0,5(x) = -2 + log_0,5(x)

Шаг 2: Подставим в неравенство

Теперь подставим эти выражения в неравенство:

(2 * log_0,5(x)) / (-2 + log_0,5(x)) >= 2 * log_0,5(x)

Шаг 3: Упростим неравенство

Умножим обе стороны на (-2 + log_0,5(x)), но не забудьте, что при умножении на отрицательное число знак неравенства изменится:

2 * log_0,5(x) <= 2 * log_0,5(x) * (-2 + log_0,5(x))

Шаг 4: Раскроем скобки

Раскроем скобки на правой стороне:

2 * log_0,5(x) <= -4 * log_0,5(x) + 2 * (log_0,5(x))^2

Шаг 5: Переносим все в одну сторону

Переносим все в одну сторону:

2 * (log_0,5(x))^2 - 6 * log_0,5(x) >= 0

Шаг 6: Вынесем общий множитель

Вынесем общий множитель:

2 * log_0,5(x) * (log_0,5(x) - 3) >= 0

Шаг 7: Найдем нули и промежутки

Теперь найдем нули данного произведения:

• log_0,5(x) = 0 (x = 1)
• log_0,5(x) - 3 = 0 (x = 0,5^3 = 1/8)

Шаг 8: Определим знаки

Теперь определим знаки на промежутках:

• При x < 1/8: логарифм отрицательный, произведение отрицательное.
• При 1/8 < x < 1: логарифм положительный, произведение положительное.
• При x > 1: логарифм положительный, произведение положительное.

Шаг 9: Записываем ответ

Таким образом, неравенство выполняется на промежутках:

x ∈ (1/8, 1] ∪ (1, +∞)

Это и есть решение нашего неравенства.