Как решить неравенство: log_0,25(2-x) > log_0,25(2/x+1)?

Алгебра 11 класс Неравенства с логарифмами решение неравенств логарифмические неравенства алгебра 11 класс неравенство log log неравенство алгебра решение математические неравенства Новый

Чтобы решить неравенство log_0,25(2-x) > log_0,25(2/(x+1)), следуем нескольким шагам. Начнем с того, что логарифм с основанием 0,25 является убывающей функцией. Это значит, что неравенство можно перевернуть, если мы применим логарифм к обеим сторонам.

1. Перевернем неравенство: 2 - x < 2/(x + 1)
2. Умножим обе стороны на (x + 1), но сначала нужно учесть, что (x + 1) должно быть больше нуля, чтобы не менять знак неравенства. Это условие: x + 1 > 0, то есть x > -1.
3. Умножаем неравенство: (2 - x)(x + 1) < 2
4. Раскроем скобки: 2x + 2 - x^2 - x < 2
5. Упростим это выражение: -x^2 + x + 2 - 2 < 0
-x^2 + x < 0
6. Перепишем неравенство: x^2 - x > 0
7. Вынесем x за скобки: x(x - 1) > 0

Теперь определим, при каких значениях x это неравенство выполняется. Корни уравнения x(x - 1) = 0 — это x = 0 и x = 1.

Теперь исследуем знаки выражения x(x - 1) на интервалах, определенных корнями:

• Для x < 0: оба множителя отрицательные, следовательно, произведение положительное (не подходит).
• Для 0 < x < 1: первый множитель положительный, второй отрицательный, следовательно, произведение отрицательное (не подходит).
• Для x > 1: оба множителя положительные, следовательно, произведение положительное (подходит).

Теперь учитываем условие, что x > -1. Таким образом, итоговое решение неравенства:

x > 1

Это и будет ответом на неравенство log_0,25(2-x) > log_0,25(2/(x+1)).