Как решить неравенство log_1/3(2x² + x - 1) > log_1/3 2?

Алгебра 11 класс Неравенства с логарифмами решение неравенства логарифмическое неравенство алгебра 11 класс неравенства с логарифмами логарифмы алгебраические уравнения Новый

Чтобы решить неравенство log_1/3(2x² + x - 1) > log_1/3 2, следуем следующим шагам:

1. Преобразуем неравенство: Мы знаем, что логарифм с основанием меньше 1 (в данном случае 1/3) меняет знак неравенства. Поэтому, когда мы убираем логарифмы, неравенство изменится на противоположное:
• log_1/3(2x² + x - 1) > log_1/3 2
• преобразуется в:
• 2x² + x - 1 < 2
2. Упрощаем неравенство: Теперь у нас есть неравенство:
• 2x² + x - 1 < 2
• Переносим 2 в левую часть:
• 2x² + x - 1 - 2 < 0
• Получаем:
• 2x² + x - 3 < 0
3. Находим корни квадратного уравнения: Для решения неравенства нам нужно найти корни соответствующего квадратного уравнения:
• 2x² + x - 3 = 0
• Используем формулу дискриминанта:
• D = b² - 4ac = 1² - 4 * 2 * (-3) = 1 + 24 = 25
• Корни уравнения:
• x_1,2 = (-b ± √D) / (2a) = (-1 ± 5) / 4
• Корни:
• x₁ = 1 и x₂ = -3/2
4. Решаем неравенство: Теперь у нас есть корни x = 1 и x = -3/2. Мы можем разбить числовую прямую на интервалы:
• (-∞, -3/2)
• (-3/2, 1)
• (1, +∞)
5. Тестируем интервалы: Проверяем знак многочлена 2x² + x - 3 в каждом интервале:
• Для x < -3/2 (например, x = -2): 2(-2)² + (-2) - 3 = 8 - 2 - 3 = 3 > 0
• Для -3/2 < x < 1 (например, x = 0): 2(0)² + (0) - 3 = -3 < 0
• Для x > 1 (например, x = 2): 2(2)² + (2) - 3 = 8 + 2 - 3 = 7 > 0
6. Записываем ответ: Неравенство 2x² + x - 3 < 0 выполняется на интервале:
• (-3/2, 1)

Таким образом, решением неравенства log_1/3(2x² + x - 1) > log_1/3 2 является интервал:

(-3/2, 1)