Как решить неравенство log2(x + 3) ≤ log(12x - 1)?

Алгебра 11 класс Неравенства с логарифмами решение неравенства алгебра 11 класс логарифмы log2 log неравенство x математические методы алгебраические уравнения Новый

Для решения неравенства log2(x + 3) ≤ log(12x - 1) нам нужно следовать нескольким шагам. Начнем с того, что мы должны убедиться, что выражения под логарифмами положительны, так как логарифм определен только для положительных чисел.

1. Определим область допустимых значений:
   • Для log2(x + 3) необходимо, чтобы x + 3 > 0, что дает x > -3.
   • Для log(12x - 1) необходимо, чтобы 12x - 1 > 0, что дает x > 1/12.
2. Объединим условия: Из двух условий мы видим, что более строгим является x > 1/12. Таким образом, область допустимых значений будет x > 1/12.
3. Перепишем неравенство: Теперь мы можем работать с неравенством. Мы знаем, что логарифмы с одинаковым основанием можно сравнивать, если их аргументы положительны. Поэтому мы можем переписать неравенство:

   log2(x + 3) ≤ log2(12x - 1)

4. Уберем логарифмы: Если логарифмы равны, то их аргументы также равны при условии, что они положительны. Это дает нам:

   x + 3 ≤ 12x - 1

5. Решим полученное неравенство:
   1. Переносим все члены с x в одну сторону:

   3 + 1 ≤ 12x - x

   2. Упрощаем:

   4 ≤ 11x

   3. Делим обе стороны на 11:

   x ≥ 4/11

6. Объединим условия: У нас есть два условия: x ≥ 4/11 и x > 1/12. Поскольку 4/11 ≈ 0.3636 и 1/12 ≈ 0.0833, то более строгое условие — это x ≥ 4/11.

Ответ: Решением неравенства является множество [4/11, +∞).