Задание 10.2:

а) Решите уравнение 2cos^2x + 3sin(-x) - 3 = 0.

Первым делом упростим уравнение. Зная, что sin(-x) = -sin(x), мы можем переписать уравнение:

• 2cos^2x - 3sin(x) - 3 = 0.

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

• cos^2x = 1 - sin^2x.

Подставим это в уравнение:

• 2(1 - sin^2x) - 3sin(x) - 3 = 0.

Упростим уравнение:

• 2 - 2sin^2x - 3sin(x) - 3 = 0,
• -2sin^2x - 3sin(x) - 1 = 0.

Умножим на -1:

• 2sin^2x + 3sin(x) + 1 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение относительно sin(x) с помощью дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1.

Корни уравнения:

• sin(x) = (-b ± √D) / 2a = (-3 ± 1) / 4.

Таким образом, получаем два корня:

• sin(x) = -1/2,
• sin(x) = -1.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2].

Рассмотрим каждый из корней:

• Для sin(x) = -1/2: x = 7π/6 + 2kπ и x = 11π/6 + 2kπ, где k - целое число.
• Для sin(x) = -1: x = 3π/2 + 2kπ.

Теперь подберем значения k, чтобы найти корни в заданном интервале:

• Для k = 0: 7π/6 и 11π/6 находятся в интервале.
• Для k = 1: 7π/6 + 2π = 19π/6 и 11π/6 + 2π = 23π/6.
• Для k = 1: 3π/2 + 2π = 7π/2.

Итак, корни в интервале [2π; 7π/2]: 19π/6, 23π/6, 7π/2.

Задание 11.3:

а) Решите уравнение 3cos2x - 5sinx + 1 = 0.

Заменим cos(2x) через sin(x): cos(2x) = 1 - 2sin^2(x). Подставляем:

• 3(1 - 2sin^2x) - 5sinx + 1 = 0.

Упростим уравнение:

• 3 - 6sin^2x - 5sinx + 1 = 0,
• -6sin^2x - 5sinx + 4 = 0.

Умножим на -1:

• 6sin^2x + 5sinx - 4 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение:

• D = 5^2 - 4 * 6 * (-4) = 25 + 96 = 121.

Корни уравнения:

• sin(x) = (-5 ± √121) / 12.

Таким образом, получаем два корня:

• sin(x) = 1/2,
• sin(x) = -2.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π/2].

Рассмотрим корни:

• Для sin(x) = 1/2: x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ.

Подберем значения k:

• Для k = 0: π/6 и 5π/6 не входят в интервал.
• Для k = 1: π/6 + 2π = 13π/6 и 5π/6 + 2π = 11π/6.

Итак, корни в интервале [π; 5π/2]: 13π/6, 11π/6.

Задание 11.4:

а) Решите уравнение 3cos2x + 11sinx + 4 = 0.

Заменим cos(2x) через sin(x): cos(2x) = 1 - 2sin^2(x). Подставляем:

• 3(1 - 2sin^2x) + 11sinx + 4 = 0.

Упростим уравнение:

• 3 - 6sin^2x + 11sinx + 4 = 0,
• -6sin^2x + 11sinx + 7 = 0.

Умножим на -1:

• 6sin^2x - 11sinx - 7 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение:

• D = (-11)^2 - 4 * 6 * (-7) = 121 + 168 = 289.

Корни уравнения:

• sin(x) = (11 ± √289) / 12.

Таким образом, получаем два корня:

• sin(x) = 3,
• sin(x) = -7/6.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-7π/2; -2π].

Поскольку значения sin(x) = 3 и sin(x) = -7/6 недопустимы (поскольку они выходят за пределы [-1, 1]), у этого уравнения нет корней в заданном интервале.