Как решить уравнение:

16 в степени синус в квадрате πx/4 плюс 16 в степени косинус в квадрате πx/4 равно корень из 61 плюс 6x минус 3x в квадрате?

Алгебра 11 класс Уравнения с показательной функцией уравнение алгебра 11 класс решение уравнения синус косинус 16 в степени корень из 61 математические задачи Новый

Чтобы решить уравнение 16^(sin^2(πx/4)) + 16^(cos^2(πx/4)) = √61 + 6x - 3x^2, начнем с преобразования левой части.

Заметим, что 16 можно представить как 4^2, а это значит, что:

• 16^(sin^2(πx/4)) = (4^2)^(sin^2(πx/4)) = 4^(2sin^2(πx/4)) = (4^(sin^2(πx/4)))^2
• 16^(cos^2(πx/4)) = (4^2)^(cos^2(πx/4)) = 4^(2cos^2(πx/4)) = (4^(cos^2(πx/4)))^2

Таким образом, мы можем переписать уравнение как:

(4^(sin^2(πx/4)))^2 + (4^(cos^2(πx/4)))^2 = √61 + 6x - 3x^2

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством: sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1. Мы можем выразить 4^(sin^2(πx/4)) и 4^(cos^2(πx/4)) через одну переменную.

Обозначим y = 4^(sin^2(πx/4)). Тогда 4^(cos^2(πx/4)) = 4^(1 - sin^2(πx/4)) = 4/(4^(sin^2(πx/4))) = 4/y.

Теперь подставим это в уравнение:

y^2 + (4/y)^2 = √61 + 6x - 3x^2

Умножим обе стороны на y^2 для устранения дроби:

y^4 + 16 = (√61 + 6x - 3x^2) * y^2

Теперь мы имеем уравнение, содержащее y^4 и y^2. Это уравнение можно решить как квадратное уравнение относительно y^2. Обозначим z = y^2, тогда уравнение примет вид:

z^2 - (√61 + 6x - 3x^2)z + 16 = 0

Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:

z = (b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -(√61 + 6x - 3x^2), c = 16.

Теперь подставим значения:

z = (√61 + 6x - 3x^2 ± √((√61 + 6x - 3x^2)^2 - 64)) / 2

После нахождения z мы можем вернуться к y, так как y = √z. И затем, используя y = 4^(sin^2(πx/4)), найти sin^2(πx/4).

После этого мы можем решить уравнение для x, подставив найденные значения.

Таким образом, решение уравнения требует нескольких шагов преобразования и применения формулы для квадратного уравнения. Не забудьте проверить полученные корни на соответствие исходному уравнению!