Как решить уравнение: (2cos²x + 3sinx - 3) * корень из tgx = 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические функции cos2x sinx tgx корень из tgx уравнение с корнем метод решения уравнений Новый

Чтобы решить уравнение (2cos²x + 3sinx - 3) * корень из tgx = 0, мы можем рассмотреть два множителя по отдельности. Уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Шаг 1: Рассмотрим первый множитель

Первый множитель: 2cos²x + 3sinx - 3 = 0.

Мы можем выразить cos²x через sinx, используя основное тригонометрическое тождество:

• cos²x = 1 - sin²x.

Подставим это в уравнение:

• 2(1 - sin²x) + 3sinx - 3 = 0.

Раскроем скобки:

• 2 - 2sin²x + 3sinx - 3 = 0.

Упростим уравнение:

• -2sin²x + 3sinx - 1 = 0.

Умножим на -1 для удобства:

• 2sin²x - 3sinx + 1 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• a = 2, b = -3, c = 1.
• D = b² - 4ac = (-3)² - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1.

Так как D > 0, у уравнения два различных корня:

• sinx = (3 ± √D) / (2a) = (3 ± 1) / 4.

Находим корни:

• sinx₁ = (3 + 1) / 4 = 4 / 4 = 1.
• sinx₂ = (3 - 1) / 4 = 2 / 4 = 1/2.

Теперь найдем углы для этих значений:

• sinx = 1: x = π/2 + 2kπ (где k - целое число).
• sinx = 1/2: x = π/6 + 2kπ и x = 5π/6 + 2kπ.

Шаг 2: Рассмотрим второй множитель

Второй множитель: корень из tgx = 0. Это означает, что tgx = 0.

Функция тангенса равна нулю на промежутках:

• tgx = 0: x = kπ (где k - целое число).

Итог

Таким образом, обобщая все найденные корни, мы получаем:

• x = π/2 + 2kπ,
• x = π/6 + 2kπ,
• x = 5π/6 + 2kπ,
• x = kπ.

Где k - любое целое число. Это и есть решение уравнения (2cos²x + 3sinx - 3) * корень из tgx = 0.