Чтобы решить уравнение 2ctg x = -1, следуем следующим шагам:

1. Перепишите уравнение: Начнем с того, что упростим уравнение. Разделим обе стороны на 2:
• ctg x = -1/2
2. Вспомним определение котангенса: Котангенс угла x (ctg x) равен отношению косинуса к синусу:
• ctg x = cos x / sin x
3. Запишем уравнение через синус и косинус: Подставим это определение в уравнение:
• cos x / sin x = -1/2
4. Перепишите уравнение: Умножим обе стороны на sin x (при условии, что sin x не равен 0):
• cos x = -1/2 * sin x
5. Используем основное тригонометрическое тождество: Заменим cos x через sin x:
• cos x = sqrt(1 - sin^2 x)
6. Подставим это в уравнение: Получаем следующее уравнение:
• sqrt(1 - sin^2 x) = -1/2 * sin x
7. Квадрат обеих сторон: Возведем обе стороны в квадрат:
• 1 - sin^2 x = (1/4) * sin^2 x
8. Соберем все члены в одну сторону: Переносим все на одну сторону:
• 1 = (1/4 + 1) * sin^2 x
• 1 = (5/4) * sin^2 x
9. Решим уравнение для sin x: Умножим обе стороны на 4/5:
• sin^2 x = 4/5
10. Извлечем корень: Найдем sin x:
• sin x = ±sqrt(4/5)
• sin x = ±(2/sqrt(5))
11. Найдем углы: Теперь найдем значения x:
• Для sin x = 2/sqrt(5) x = arcsin(2/sqrt(5)) + 2kπ и x = π - arcsin(2/sqrt(5)) + 2kπ, где k - целое число.
• Для sin x = -2/sqrt(5) x = 7π/2 + arcsin(2/sqrt(5)) + 2kπ и x = 5π/2 - arcsin(2/sqrt(5)) + 2kπ.

Таким образом, у нас есть общее решение уравнения 2ctg x = -1 в виде:

• x = arcsin(2/sqrt(5)) + 2kπ
• x = π - arcsin(2/sqrt(5)) + 2kπ
• x = 7π/2 + arcsin(2/sqrt(5)) + 2kπ
• x = 5π/2 - arcsin(2/sqrt(5)) + 2kπ

Где k - любое целое число. Это и есть решение нашего уравнения.