Как решить уравнение 2SIN^2X + SINXCOSX - 3COS^2 = 0 и указать корни, которые находятся на отрезке [П/2 : 3П/2]?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение решить уравнение алгебра 11 класс корни уравнения тригонометрические функции отрезок [П/2 : 3П/2] sin cos квадратное уравнение алгебраические методы Новый

Для решения уравнения 2sin^2(x) + sin(x)cos(x) - 3cos^2(x) = 0, начнем с замены переменных, чтобы упростить уравнение. Мы знаем, что sin^2(x) = 1 - cos^2(x). Таким образом, мы можем выразить sin^2(x) через cos^2(x).

1. Заменим sin^2(x) в уравнении:

• 2(1 - cos^2(x)) + sin(x)cos(x) - 3cos^2(x) = 0

2. Раскроем скобки:

• 2 - 2cos^2(x) + sin(x)cos(x) - 3cos^2(x) = 0

3. Объединим подобные слагаемые:

• 2 - 5cos^2(x) + sin(x)cos(x) = 0

4. Теперь выразим sin(x) через cos(x) с помощью формулы sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x)). Подставим это в уравнение:

• 2 - 5cos^2(x) + sqrt(1 - cos^2(x)) * cos(x) = 0

5. Это уравнение сложно решать напрямую, поэтому попробуем использовать тригонометрическую идентичность. Заменим sin(x) на t, тогда cos(x) = sqrt(1 - t^2) и упростим уравнение:

• 2 - 5(1 - t^2) + t * sqrt(1 - t^2) = 0

6. После упрощения мы получим квадратное уравнение относительно t. Это уравнение может быть решено с помощью дискриминанта или других методов.

Теперь, чтобы найти корни уравнения на отрезке [π/2 : 3π/2], мы знаем, что в этом интервале sin(x) принимает значения от 1 до -1, а cos(x) меняет знак. Мы можем использовать численные методы или графический подход для нахождения корней на этом интервале.

7. После нахождения корней, проверяем их на принадлежность отрезку [π/2 : 3π/2]. Если корень находится в этом интервале, то он является решением уравнения.

Таким образом, корни уравнения можно найти, используя различные методы, и затем проверить, какие из них находятся в заданном интервале.