Как решить уравнение cos(2x) + корень из 3 * cos(π/2 - x) + 2 = 0?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решить уравнение алгебра cos(2X) корень из 3 cos(π/2 - x) уравнение равное нулю Новый

Для решения уравнения cos(2x) + √3 * cos(π/2 - x) + 2 = 0 будем следовать определённым шагам. Начнём с преобразования некоторых частей уравнения.

1. **Преобразование cos(π/2 - x)**:

• Согласно тригонометрической идентичности, cos(π/2 - x) = sin(x).

Таким образом, наше уравнение можно переписать как:

cos(2x) + √3 * sin(x) + 2 = 0

2. **Использование формулы для cos(2x)**:

• По формуле двойного угла: cos(2x) = cos²(x) - sin²(x) или cos(2x) = 2cos²(x) - 1 или cos(2x) = 1 - 2sin²(x).

Выберем, например, cos(2x) = 2cos²(x) - 1. Подставим это в уравнение:

2cos²(x) - 1 + √3 * sin(x) + 2 = 0

3. **Упрощение уравнения**:

Теперь упростим уравнение:

2cos²(x) + √3 * sin(x) + 1 = 0

4. **Замена переменных**:

Зная, что cos²(x) = 1 - sin²(x), можем заменить cos²(x):

2(1 - sin²(x)) + √3 * sin(x) + 1 = 0

Это упрощается до:

-2sin²(x) + √3 * sin(x) + 3 = 0

5. **Приведение к стандартному виду**:

Умножим всё уравнение на -1 для удобства:

2sin²(x) - √3 * sin(x) - 3 = 0

6. **Решение квадратного уравнения**:

Теперь это квадратное уравнение относительно sin(x). Обозначим y = sin(x), тогда уравнение принимает вид:

2y² - √3y - 3 = 0

Для решения используем формулу корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 2, b = -√3, c = -3.

Подставим значения:

y = (√3 ± √((√3)² - 4 * 2 * (-3))) / (2 * 2)

y = (√3 ± √(3 + 24)) / 4

y = (√3 ± √27) / 4

y = (√3 ± 3√3) / 4

y = (4√3) / 4 = √3 или y = (-2√3) / 4 = -√3/2

7. **Нахождение углов**:

• Для y = √3: sin(x) = √3 не имеет решений, так как значение синуса не может превышать 1.
• Для y = -√3/2: sin(x) = -√3/2 имеет решения. Это происходит в третьем и четвёртом квадранте:

x = 7π/6 + 2kπ и x = 11π/6 + 2kπ, где k — целое число.

Таким образом, решение уравнения cos(2x) + √3 * cos(π/2 - x) + 2 = 0 можно записать в виде:

x = 7π/6 + 2kπ и x = 11π/6 + 2kπ, k ∈ Z.