Как решить уравнение cos(2X) + sin^2(X) + sin(X) = 0.25?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решить уравнение cos(2X) sin^2(x) sin(x) алгебра математическое уравнение тригонометрические функции методы решения уравнений уравнения с синусом уравнения с косинусом Новый

Чтобы решить уравнение cos(2X) + sin^2(X) + sin(X) = 0.25, начнем с преобразования его в более удобный вид.

Первый шаг — воспользуемся формулой для косинуса двойного угла:

• cos(2X) = 1 - 2sin^2(X). Это позволит нам выразить cos(2X) через sin(X).

Подставим это в уравнение:

1 - 2sin^2(X) + sin^2(X) + sin(X) = 0.25

Теперь упростим уравнение:

• Соберем все члены:
• 1 - 2sin^2(X) + sin^2(X) + sin(X) = 0.25
• Это можно переписать как:
• 1 - sin^2(X) + sin(X) = 0.25

Теперь перенесем 0.25 на левую сторону:

1 - sin^2(X) + sin(X) - 0.25 = 0

Упростим это:

-sin^2(X) + sin(X) + 0.75 = 0

Теперь умножим все уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака:

sin^2(X) - sin(X) - 0.75 = 0

Теперь у нас квадратное уравнение. Мы можем решить его с помощью формулы корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -1, c = -0.75.

Подставим значения:

• b² - 4ac = (-1)² - 4 * 1 * (-0.75) = 1 + 3 = 4.

Теперь найдем корни:

• x = (1 ± √4) / 2 = (1 ± 2) / 2.
• Это дает два корня: x1 = (1 + 2) / 2 = 3/2 и x2 = (1 - 2) / 2 = -1/2.

Теперь мы имеем два значения для sin(X):

• sin(X) = 1.5 (это значение не может быть, так как sin(X) не может превышать 1).
• sin(X) = -0.5.

Теперь найдем углы, для которых sin(X) = -0.5. Это происходит в следующих квадрантах:

• X = 7π/6 + 2kπ и X = 11π/6 + 2kπ, где k — любое целое число.

Таким образом, общее решение уравнения:

X = 7π/6 + 2kπ и X = 11π/6 + 2kπ, где k ∈ Z.