Как решить уравнение: cos(4x) - sin^2(x) = 1?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс cos(4x) sin^2(x) тригонометрические уравнения алгебраические методы Новый

Для решения уравнения cos(4x) - sin^2(x) = 1 мы можем следовать нескольким шагам. Давайте разберем его по порядку.

1. Переносим 1 в левую часть уравнения:

   cos(4x) - sin^2(x) - 1 = 0

2. Используем тригонометрическую идентичность для sin^2(x): sin^2(x) = 1 - cos^2(x). Подставим это в уравнение:

   cos(4x) - (1 - cos^2(x)) - 1 = 0

   Упрощаем:

   cos(4x) + cos^2(x) - 2 = 0

3. Теперь мы можем выразить cos(4x) через cos(x). Используем формулу для cos(4x):

   cos(4x) = 2cos^2(2x) - 1

   Также, можно выразить cos(2x) как 2cos^2(x) - 1.

4. Подставляем cos(2x) в cos(4x):

   cos(4x) = 2(2cos^2(x) - 1)^2 - 1

   Раскроем скобки и упростим:

   cos(4x) = 2(4cos^4(x) - 4cos^2(x) + 1) - 1 = 8cos^4(x) - 8cos^2(x) + 1

5. Теперь подставим это обратно в уравнение:

   8cos^4(x) - 8cos^2(x) + 1 + cos^2(x) - 2 = 0

   Упрощаем:

   8cos^4(x) - 7cos^2(x) - 1 = 0

6. Теперь обозначим y = cos^2(x). Уравнение примет вид:

   8y^2 - 7y - 1 = 0

7. Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 * 8 * (-1) = 49 + 32 = 81

   Находим корни:

   y1,2 = (7 ± √81) / (2 * 8) = (7 ± 9) / 16

   • y1 = 16 / 16 = 1
   • y2 = -2 / 16 = -1/8 (недопустимо, так как cos^2(x) не может быть отрицательным)

8. Теперь возвращаемся к cos^2(x) = 1. Это означает:

   cos(x) = ±1

   Решения:

   • x = 2kπ, где k - целое число (cos(x) = 1)
   • x = (2k + 1)π, где k - целое число (cos(x) = -1)

Таким образом, общее решение уравнения cos(4x) - sin^2(x) = 1 имеет вид:

x = kπ, где k - целое число.