Как решить уравнение: cos5xcos3x = 1 - sin5xsin3x?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические функции cos и sin уравнения с косинусом и синусом Новый

Давайте решим уравнение cos(5x)cos(3x) = 1 - sin(5x)sin(3x) шаг за шагом.

Первым делом, мы можем использовать формулы тригонометрических преобразований. В частности, мы воспользуемся формулой:

cos(A)cos(B) = (1/2)(cos(A+B) + cos(A-B))

Применим эту формулу к левой части уравнения:

• Здесь A = 5x и B = 3x.
• Тогда cos(5x)cos(3x) = (1/2)(cos(5x + 3x) + cos(5x - 3x) = (1/2)(cos(8x) + cos(2x)).

Теперь рассмотрим правую часть уравнения. Мы можем использовать формулу:

1 - sin(A)sin(B) = cos(A + B) + cos(A - B)

Применим эту формулу к правой части уравнения:

• Здесь A = 5x и B = 3x.
• Тогда 1 - sin(5x)sin(3x) = cos(5x + 3x) + cos(5x - 3x) = cos(8x) + cos(2x).

Теперь мы можем записать уравнение в следующем виде:

(1/2)(cos(8x) + cos(2x)) = cos(8x) + cos(2x).

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны уравнения на 2:

cos(8x) + cos(2x) = 2(cos(8x) + cos(2x)).

Теперь перенесем все на одну сторону:

cos(8x) + cos(2x) - 2(cos(8x) + cos(2x)) = 0.

Это можно упростить:

-cos(8x) - cos(2x) = 0.

Или:

cos(8x) + cos(2x) = 0.

Теперь мы можем решить это уравнение. Мы знаем, что сумма косинусов равна нулю, когда:

• cos(8x) = -cos(2x).

Это означает, что 8x и 2x могут быть связаны с помощью углов, где косинус одного равен отрицательному значению косинуса другого. Это происходит, например, когда:

• 8x = 2x + (2k + 1)π, где k - целое число.
• или 8x = -2x + 2kπ.

Теперь давайте решим каждое из этих уравнений:

1. Для 8x = 2x + (2k + 1)π:
• 6x = (2k + 1)π;
• x = (2k + 1)π/6.
2. Для 8x = -2x + 2kπ:
• 10x = 2kπ;
• x = (2kπ)/10 = (kπ)/5.

Таким образом, у нас есть два семейства решений:

• x = (2k + 1)π/6, где k - целое число;
• x = (kπ)/5, где k - целое число.

Это и есть общее решение данного уравнения.