Чтобы решить уравнение, давайте сначала упростим его. У нас есть следующее уравнение:

sqrt{2} * cos(x) - 2 * cos(π/4 + x) * (2 * sin(π/4 + x) / (sqrt{2} * sin(x)) = 0

Начнем с упрощения выражений, содержащих косинусы и синусы. Напомним, что:

• cos(π/4) = sin(π/4) = 1/√2.

Подставим это в уравнение:

sqrt{2} * cos(x) - 2 * (1/√2 * cos(x) - 1/√2 * sin(x)) * (2 * (1/√2 * cos(x) + 1/√2 * sin(x)) / (sqrt{2} * sin(x)) = 0

Теперь упростим выражение:

• cos(π/4 + x) = cos(π/4) * cos(x) - sin(π/4) * sin(x) = (1/√2) * cos(x) - (1/√2) * sin(x).
• sin(π/4 + x) = sin(π/4) * cos(x) + cos(π/4) * sin(x) = (1/√2) * cos(x) + (1/√2) * sin(x).

Теперь у нас есть:

sqrt{2} * cos(x) - 2 * ((1/√2) * cos(x) - (1/√2) * sin(x)) * (2 * ((1/√2) * cos(x) + (1/√2) * sin(x)) / (sqrt{2} * sin(x)) = 0

Упростим это дальше. Умножим и упростим дробь:

sqrt{2} * cos(x) - 2 * (cos(x) - sin(x)) * (cos(x) + sin(x)) / sin(x) = 0

Теперь раскроем скобки:

sqrt{2} * cos(x) - 2 * ((cos^2(x) - sin^2(x)) / sin(x)) = 0

Переносим все в одну сторону:

sqrt{2} * cos(x) * sin(x) - 2 * (cos^2(x) - sin^2(x)) = 0

Теперь мы можем решить это уравнение. Перепишем его в более удобной форме:

sqrt{2} * cos(x) * sin(x) = 2 * (cos^2(x) - sin^2(x))

Далее, мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы упростить выражение и найти корни уравнения. Например, используя формулы двойного угла:

sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x)

Итак, у нас получится:

sqrt{2}/2 * sin(2x) = 2 * (cos^2(x) - sin^2(x))

Это уравнение можно решить, подбирая значения x, либо используя методы численного анализа или графического построения.

В итоге, мы получим корни уравнения, которые можно проверить подстановкой обратно в исходное уравнение.