Как решить уравнение sin(3a)/sin(a) + cos(3a)/cos(a) = 4cos²(a)?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра 11 класс тригонометрические функции sin и cos математические уравнения Новый

Для решения уравнения sin(3a)/sin(a) + cos(3a)/cos(a) = 4cos²(a) мы можем использовать некоторые тригонометрические формулы и преобразования. Давайте разберем шаги решения.

1. Используем формулы для синуса и косинуса тройного угла:
   • sin(3a) = 3sin(a) - 4sin³(a)
   • cos(3a) = 4cos³(a) - 3cos(a)
2. Подставляем эти формулы в уравнение:

   Теперь мы можем заменить sin(3a) и cos(3a) в нашем уравнении:

   (3sin(a) - 4sin³(a))/sin(a) + (4cos³(a) - 3cos(a))/cos(a) = 4cos²(a)

3. Упрощаем каждую часть:
   • Первую часть: (3sin(a) - 4sin³(a))/sin(a) = 3 - 4sin²(a)
   • Вторую часть: (4cos³(a) - 3cos(a))/cos(a) = 4cos²(a) - 3
4. Теперь у нас есть упрощенное уравнение:

   3 - 4sin²(a) + 4cos²(a) - 3 = 4cos²(a)

5. Собираем подобные члены:

   -4sin²(a) = 0

6. Решаем полученное уравнение:

   Это уравнение означает, что sin²(a) = 0. Следовательно, sin(a) = 0.

7. Находим значения a:

   sin(a) = 0, когда a = nπ, где n - целое число.

Таким образом, общее решение уравнения sin(3a)/sin(a) + cos(3a)/cos(a) = 4cos²(a) имеет вид:

a = nπ, где n - целое число.