Как упростить выражение (sin20° + sin70°)(cos70° - cos20°) / sin50?

Алгебра 11 класс Упрощение тригонометрических выражений Упрощение выражения алгебра 11 класс тригонометрические функции синус и косинус математические выражения Новый

Чтобы упростить выражение (sin20° + sin70°)(cos70° - cos20°) / sin50°, мы будем использовать некоторые тригонометрические тождества и свойства. Давайте разберем это шаг за шагом.

1. Упрощение суммы синусов:

   Сначала упростим sin20° + sin70°. Мы можем воспользоваться формулой суммы синусов:

   sinA + sinB = 2 * sin((A + B)/2) * cos((A - B)/2)

   В нашем случае A = 20° и B = 70°:

   • A + B = 20° + 70° = 90°
   • A - B = 20° - 70° = -50°

   Теперь подставим в формулу:

   sin20° + sin70° = 2 * sin(90° / 2) * cos(-50° / 2) = 2 * sin(45°) * cos(-25°)

   Так как sin(45°) = √2/2 и cos(-25°) = cos(25°), получаем:

   sin20° + sin70° = 2 * (√2/2) * cos(25°) = √2 * cos(25°)

2. Упрощение разности косинусов:

   Теперь упростим cos70° - cos20°. Используем формулу разности косинусов:

   cosA - cosB = -2 * sin((A + B)/2) * sin((A - B)/2)

   В нашем случае A = 70° и B = 20°:

   • A + B = 70° + 20° = 90°
   • A - B = 70° - 20° = 50°

   Теперь подставим в формулу:

   cos70° - cos20° = -2 * sin(90° / 2) * sin(50° / 2) = -2 * sin(45°) * sin(25°)

   Так как sin(45°) = √2/2, получаем:

   cos70° - cos20° = -√2 * sin(25°)

3. Подставляем в исходное выражение:

   Теперь подставим упрощенные части в исходное выражение:

   (sin20° + sin70°)(cos70° - cos20°) = (√2 * cos(25°)) * (-√2 * sin(25°))

   Это равно:

   -2 * cos(25°) * sin(25°)

   Используем формулу: sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x), где x = 25°:

   Таким образом, получаем:

   -sin(50°)

4. Теперь делим на sin50°:

   Теперь вернемся к нашему выражению:

   (-sin(50°)) / sin(50°) = -1

Ответ: Упрощенное выражение равно -1.