Чтобы вычислить определенный интеграл ∫₀^π (x - 2)sin(5x) dx, мы можем использовать метод интегрирования по частям. Этот метод основан на формуле:

∫u dv = uv - ∫v du

Где:

• u - функция, которую мы выбираем для дифференцирования;
• dv - функция, которую мы выбираем для интегрирования.

В нашем случае мы можем выбрать:

• u = x - 2, тогда du = dx;
• dv = sin(5x) dx, тогда v = -1/5 cos(5x) (интегрируем sin(5x)).

Теперь подставим эти значения в формулу интегрирования по частям:

∫(x - 2)sin(5x) dx = (x - 2)(-1/5 cos(5x)) - ∫(-1/5 cos(5x)) dx

Теперь вычислим интеграл:

∫(x - 2)sin(5x) dx = -(1/5)(x - 2)cos(5x) + (1/25)sin(5x) + C

Теперь нам нужно вычислить определенный интеграл от 0 до π:

∫₀^π (x - 2)sin(5x) dx = [-(1/5)(x - 2)cos(5x) + (1/25)sin(5x)]₀^π

Подставим пределы интегрирования:

Сначала подставим π:

• -(1/5)(π - 2)cos(5π) + (1/25)sin(5π) = -(1/5)(π - 2)(-1) + 0 = (1/5)(π - 2).

Теперь подставим 0:

• -(1/5)(0 - 2)cos(0) + (1/25)sin(0) = -(1/5)(-2)(1) + 0 = (2/5).

Теперь вычтем значение при 0 из значения при π:

(1/5)(π - 2) - (2/5) = (1/5)π - (2/5) - (2/5) = (1/5)π - (4/5).

Таким образом, окончательный ответ:

∫₀^π (x - 2)sin(5x) dx = (1/5)π - (4/5).