Как вычислить производную сложной функции:

1. sin(x^3+2)
2. sin^4x
3. cos^2(3x+2)

Алгебра 11 класс Производная сложной функции вычисление производной производная сложной функции производная sin(x^3+2) производная sin^4x производная cos^2(3x+2) Новый

Для вычисления производной сложной функции мы будем использовать правило производной сложной функции, известное как правило цепочки. Это правило гласит, что если у нас есть функция, которая является композицией двух функций, то производная этой функции равна производной внешней функции, умноженной на производную внутренней функции.

Рассмотрим каждую из ваших функций отдельно:

1. Функция: sin(x^3 + 2)
• Внешняя функция: sin(u), где u = x^3 + 2.
• Производная внешней функции: cos(u).
• Внутренняя функция: u = x^3 + 2.
• Производная внутренней функции: du/dx = 3x^2.
• Теперь применяем правило цепочки:
• Производная: d/dx[sin(x^3 + 2)] = cos(x^3 + 2) * 3x^2.
2. Функция: sin^4(x)
• Внешняя функция: v^4, где v = sin(x).
• Производная внешней функции: 4v^3.
• Внутренняя функция: v = sin(x).
• Производная внутренней функции: dv/dx = cos(x).
• Теперь применяем правило цепочки:
• Производная: d/dx[sin^4(x)] = 4(sin(x))^3 * cos(x).
3. Функция: cos^2(3x + 2)
• Внешняя функция: w^2, где w = cos(3x + 2).
• Производная внешней функции: 2w.
• Внутренняя функция: w = cos(3x + 2).
• Производная внутренней функции: dw/dx = -sin(3x + 2) * 3.
• Теперь применяем правило цепочки:
• Производная: d/dx[cos^2(3x + 2)] = 2cos(3x + 2) * (-sin(3x + 2) * 3) = -6cos(3x + 2)sin(3x + 2).

Таким образом, мы получили производные всех трех функций:

• Производная sin(x^3 + 2) = 3x^2 * cos(x^3 + 2).
• Производная sin^4(x) = 4(sin(x))^3 * cos(x).
• Производная cos^2(3x + 2) = -6cos(3x + 2)sin(3x + 2).