Как выразить tga, cosa, sina и sinb, если дано уравнение 3sina = 2sinb, где b = (60 градусов - a)?

Алгебра 11 класс Тригонометрические уравнения алгебра 11 класс уравнение 3sina sinB tga cosA sinA угол B тригонометрические функции решение уравнения задачи по алгебре Новый

Для решения данной задачи начнем с уравнения, которое у нас есть:

3sina = 2sinb

Мы знаем, что угол b выражается через угол a следующим образом:

b = 60 градусов - a

Теперь подставим это выражение для b в уравнение:

3sina = 2sin(60 градусов - a)

Теперь воспользуемся формулой синуса разности:

sin(60 градусов - a) = sin60 градусов * cos a - cos60 градусов * sin a

Значения sin 60 и cos 60 известны:

• sin 60 градусов = √3/2
• cos 60 градусов = 1/2

Подставим эти значения в уравнение:

3sina = 2(√3/2 * cos a - 1/2 * sin a)

Упрощаем правую часть уравнения:

3sina = √3 * cos a - sin a

Теперь соберем все слагаемые с sin a в одну сторону:

3sina + sin a = √3 * cos a

Это можно записать как:

(3 + 1)sina = √3 * cos a

Или:

4sina = √3 * cos a

Теперь выразим tga, cosa, sina и sinb:

1. Выразим sina:

Из уравнения 4sina = √3 * cos a получаем:

sina = (√3/4) * cos a

2. Теперь найдем cosa:

Мы знаем, что sin²a + cos²a = 1. Подставим значение sina:

sin²a = (√3/4)² * cos²a = 3/16 * cos²a

Теперь подставим это в основное уравнение:

(3/16) * cos²a + cos²a = 1

Объединим слагаемые:

(3/16 + 16/16) * cos²a = 1

(19/16) * cos²a = 1

Теперь выразим cos²a:

cos²a = 16/19

Следовательно:

cosa = √(16/19) = 4/√19

3. Теперь найдем tga:

tga = sina/cosa:

tga = ((√3/4) * (4/√19)) = √3/√19

4. Найдем sinb:

Используем выражение для sinb:

sinb = sin(60 градусов - a) = sin60 * cos a - cos60 * sin a

Подставляем значения:

sinb = (√3/2) * (4/√19) - (1/2) * ((√3/4) * (4/√19))

Упрощаем:

sinb = (2√3/√19) - (√3/√19) = (2√3/√19 - √3/√19) = (√3/√19)

Таким образом, мы выразили все необходимые функции:

• sina = (√3/4) * cos a
• cosa = 4/√19
• tga = √3/√19
• sinb = √3/√19