Похожие вопросы
2025-10-16 15:49:52
Какое значение имеет увеличенное в 6 раз произведение корней уравнения 3^{x^2} * 5^{x^2+1} = 1/3 * √(225^{13-x^4})?
Алгебра 11 класс Уравнения с показательной функцией алгебра 11 класс уравнение корни уравнения произведение корней математический анализ решение уравнений экспоненциальные уравнения свойства логарифмов Квадратные уравнения алгебраические выражения
2025-10-16 15:50:09
Чтобы найти значение увеличенного в 6 раз произведения корней уравнения 3^{x^2} * 5^{x^2+1} = 1/3 * √(225^{13-x^4}), начнем с упрощения уравнения.
Сначала упростим правую часть уравнения. Мы знаем, что:
- 225 = 15^2 = (3 * 5)^2 = 3^2 * 5^2, поэтому:
- 225^{13-x^4} = (3^2 * 5^2)^{13-x^4} = 3^{2(13-x^4)} * 5^{2(13-x^4)}.
Теперь подставим это в уравнение:
3^{x^2} * 5^{x^2+1} = 1/3 * √(3^{2(13-x^4)} * 5^{2(13-x^4)})
Упростим правую часть:
- √(3^{2(13-x^4)} * 5^{2(13-x^4)}) = 3^{(13-x^4)} * 5^{(13-x^4)}, так как корень из произведения равен произведению корней.
Теперь у нас есть:
3^{x^2} * 5^{x^2+1} = 1/3 * (3^{(13-x^4)} * 5^{(13-x^4)})
Умножим обе стороны на 3:
3^{x^2 + 1} * 5^{x^2 + 1} = 3^{(13-x^4)} * 5^{(13-x^4)}
Теперь приравняем показатели степеней для оснований 3 и 5:
- x^2 + 1 = 13 - x^4
- x^2 + 1 = 13 - x^4
Решим уравнение x^2 + 1 = 13 - x^4.
Перепишем его в стандартном виде:
x^4 + x^2 - 12 = 0.
Обозначим y = x^2. Тогда уравнение преобразуется в:
y^2 + y - 12 = 0.
Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
- D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49.
Корни уравнения:
- y1 = (-b + √D) / 2a = (-1 + 7) / 2 = 3
- y2 = (-b - √D) / 2a = (-1 - 7) / 2 = -4 (не подходит, так как y = x^2 не может быть отрицательным).
Итак, y = 3, что означает x^2 = 3, следовательно x = ±√3.
Теперь найдем произведение корней:
Произведение корней = √3 * (-√3) = -3.
Увеличим это значение в 6 раз:
Увеличенное значение = -3 * 6 = -18.
Таким образом, ответ:
-18.