Чтобы найти сумму наибольшего и наименьшего значений функции y = sin^2(x) + 4sin(x) + 4, начнем с упрощения данной функции. Заметим, что sin^2(x) можно выразить через sin(x):

Шаг 1: Замена переменной

• Обозначим z = sin(x). Тогда функция станет:
• y = z^2 + 4z + 4.

Шаг 2: Приведение к стандартному виду

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы можем его преобразовать:

• y = z^2 + 4z + 4 = (z + 2)^2.

Шаг 3: Определение области определения

Значение z = sin(x) может варьироваться от -1 до 1, поэтому:

• -1 ≤ z ≤ 1.

Шаг 4: Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции

Теперь найдем наименьшее и наибольшее значения функции (z + 2)^2 в пределах z от -1 до 1:

• Когда z = -1:
• y = (-1 + 2)^2 = 1^2 = 1.
• Когда z = 1:
• y = (1 + 2)^2 = 3^2 = 9.

Шаг 5: Сумма наибольшего и наименьшего значений

Теперь мы можем найти сумму наибольшего и наименьшего значений:

• Наименьшее значение: 1
• Наибольшее значение: 9

Сумма = 1 + 9 = 10.

Ответ: Сумма наибольшего и наименьшего значений функции y = sin^2(x) + 4sin(x) + 4 равна 10.