Для решения уравнения cos(3πx)cos(3πx + π/2) = 1/2 начнем с преобразования левой части уравнения.

Мы знаем, что cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β). В данном случае, β = π/2, и мы можем записать:

• cos(3πx + π/2) = -sin(3πx)

Таким образом, уравнение преобразуется:

cos(3πx)(-sin(3πx)) = 1/2

или

-cos(3πx)sin(3πx) = 1/2

или

cos(3πx)sin(3πx) = -1/2

Теперь воспользуемся формулой sin(2α) = 2sin(α)cos(α). Мы можем выразить sin(3πx)cos(3πx) как:

• sin(2 * 3πx) / 2 = sin(6πx) / 2

Таким образом, уравнение принимает вид:

sin(6πx) / 2 = -1/2

или

sin(6πx) = -1

Теперь найдем значения x, при которых sin(6πx) = -1. Мы знаем, что sin(θ) = -1 при θ = 3π/2 + 2kπ, где k - любое целое число.

Следовательно, у нас есть:

6πx = 3π/2 + 2kπ

Теперь решим это уравнение для x:

• x = (3/12) + (k/3) = 1/4 + k/3

Теперь найдем наибольший отрицательный и положительный корни:

• Для k = -1: x = 1/4 - 1/3 = 1/4 - 4/12 = -1/12
• Для k = 0: x = 1/4

Теперь найдем сумму наибольшего отрицательного и положительного корней:

-1/12 + 1/4 = -1/12 + 3/12 = 2/12 = 1/6

Таким образом, сумма наибольшего отрицательного и положительного корней уравнения равна 1/6.