Какова вероятность того, что из 10 выстрелов в цель попадет 8 раз, если вероятность попадания при каждом выстреле составляет 2/3?

Алгебра 11 класс Комбинаторика и теория вероятностей вероятность попадания выстрелы в цель алгебра 11 класс биномиальная вероятность задача по алгебре математическая статистика вероятность события Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу биномиального распределения. Вероятность того, что из n независимых испытаний (в данном случае выстрелов) произойдет k успехов (попаданий), рассчитывается по формуле:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k),

где:

• P(X = k) - вероятность того, что произойдет k успехов;
• C(n, k) - биномиальный коэффициент, который равен количеству способов выбрать k успехов из n испытаний;
• p - вероятность успеха в одном испытании;
• (1 - p) - вероятность неудачи в одном испытании;
• n - общее количество испытаний;
• k - количество успешных испытаний.

В нашей задаче:

• n = 10 (общее количество выстрелов);
• k = 8 (количество попаданий);
• p = 2/3 (вероятность попадания);
• 1 - p = 1/3 (вероятность промаха).

Теперь нам нужно рассчитать биномиальный коэффициент C(10, 8):

C(10, 8) = 10! / (8! * (10 - 8)!) = 10! / (8! * 2!) = (10 * 9) / (2 * 1) = 45.

Теперь подставим все значения в формулу:

P(X = 8) = C(10, 8) * (2/3)^8 * (1/3)^(10 - 8).

Подставляем значения:

P(X = 8) = 45 * (2/3)^8 * (1/3)^2.

Теперь вычислим каждую часть:

(2/3)^8 = 256/6561,

(1/3)^2 = 1/9.

Теперь умножим все вместе:

P(X = 8) = 45 * (256/6561) * (1/9) = 45 * (256/59049).

Теперь умножим 45 и 256:

45 * 256 = 11520.

Итак, получаем:

P(X = 8) = 11520 / 59049.

Теперь можно округлить результат или оставить в таком виде. Вероятность того, что из 10 выстрелов попадет 8 раз, составляет 11520 / 59049, что примерно равно 0.195.

Таким образом, вероятность того, что из 10 выстрелов попадет 8 раз, составляет примерно 0.195 или 19.5%.