Для решения уравнения 1 - sin(7x) = (cos(5x/2) - sin(5x/2))^2, начнем с упрощения правой части уравнения.

Сначала разложим квадрат:

1. (cos(5x/2) - sin(5x/2))^2 = cos^2(5x/2) - 2cos(5x/2)sin(5x/2) + sin^2(5x/2).
2. Мы знаем, что cos^2(θ) + sin^2(θ) = 1, поэтому:
3. cos^2(5x/2) + sin^2(5x/2) = 1.
4. Таким образом, у нас получается: (cos(5x/2) - sin(5x/2))^2 = 1 - 2cos(5x/2)sin(5x/2).

Теперь подставим это в исходное уравнение:

1 - sin(7x) = 1 - 2cos(5x/2)sin(5x/2).

Упростим уравнение:

-sin(7x) = -2cos(5x/2)sin(5x/2).

Умножим обе стороны на -1:

sin(7x) = 2cos(5x/2)sin(5x/2).

Теперь воспользуемся формулой произведения:

2cos(θ)sin(θ) = sin(2θ). Таким образом:

sin(7x) = sin(5x).

У нас есть два случая для равенства синусов:

• 7x = 5x + 360k, где k - целое число;
• 7x = π - 5x + 360k.

Решим первый случай:

7x - 5x = 360k

2x = 360k

x = 180k.

Теперь рассмотрим второй случай:

7x + 5x = π + 360k

12x = π + 360k

x = (π + 360k) / 12.

Теперь найдем корни на промежутке (-180°, 60°].

Для первого случая:

• k = -1: x = 180 * (-1) = -180° (не входит в промежуток)
• k = 0: x = 0° (входит в промежуток)
• k = 1: x = 180° (не входит в промежуток)

Для второго случая:

• k = -1: x = (π - 360) / 12 ≈ -29.1° (входит в промежуток)
• k = 0: x = π / 12 ≈ 15° (входит в промежуток)
• k = 1: x = (π + 360) / 12 ≈ 60° (входит в промежуток)

Теперь соберем все корни, которые мы нашли:

• x = 0°
• x ≈ -29.1°
• x ≈ 15°
• x = 60°

Наименьший корень на промежутке (-180°, 60°] равен: