Чтобы решить уравнение 2 sin^2 x + cos x + 1 = 0, начнем с преобразования выражения. Мы знаем, что sin^2 x можно выразить через cos x с помощью тождества:

sin^2 x = 1 - cos^2 x

Подставим это в уравнение:

2(1 - cos^2 x) + cos x + 1 = 0

Раскроем скобки:

2 - 2cos^2 x + cos x + 1 = 0

Соберем все члены в одно уравнение:

-2cos^2 x + cos x + 3 = 0

Умножим на -1, чтобы упростить уравнение:

2cos^2 x - cos x - 3 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos x. Применим формулу для решения квадратных уравнений:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

В нашем случае a = 2, b = -1, c = -3. Подставим значения:

• b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 2 * (-3) = 1 + 24 = 25

Теперь подставим в формулу:

• cos x = (1 ± √25) / (2 * 2)
• cos x = (1 ± 5) / 4

Решения:

• cos x = (6) / 4 = 1.5 (это не подходит, так как cos x не может быть больше 1)
• cos x = (-4) / 4 = -1

Теперь найдем значение x, когда cos x = -1. Это происходит при:

• x = π + 2kπ, где k - любое целое число.

Наименьший положительный корень будет, когда k = 0:

• x = π.

Таким образом, наименьший положительный корень уравнения 2 sin^2 x + cos x + 1 = 0 равен:

x = π.