Можете, пожалуйста, решить уравнение (√2-1)^x+(√2+1)^x -2=0?

Алгебра 11 класс Уравнения с показательной функцией решение уравнения алгебра 11 класс уравнение с корнями (√2-1)^x (√2+1)^x математические задачи алгебраические уравнения решение задач по алгебре Новый

Решим уравнение (√2 - 1)^x + (√2 + 1)^x - 2 = 0. Для начала сделаем несколько преобразований и упростим уравнение.

Обозначим:

• a = (√2 - 1)^x
• b = (√2 + 1)^x

Тогда уравнение можно переписать как:

a + b - 2 = 0, что эквивалентно a + b = 2.

Теперь заметим, что (√2 - 1) и (√2 + 1) - это два числа, которые находятся в противоположных отношениях:

• √2 - 1 < 1 (так как √2 примерно 1.414)
• √2 + 1 > 1 (так как √2 + 1 примерно 2.414)

Таким образом, (√2 - 1)^x будет стремиться к 0 при увеличении x, а (√2 + 1)^x будет стремиться к бесконечности при увеличении x. Теперь рассмотрим, как ведет себя сумма a и b:

Проверим простые значения x:

1. Для x = 0:

(√2 - 1)^0 + (√2 + 1)^0 = 1 + 1 = 2. Это подходит.

2. Для x = 1:

(√2 - 1)^1 + (√2 + 1)^1 = (√2 - 1) + (√2 + 1) = 2√2. Это больше 2.

3. Для x = -1:

(√2 - 1)^-1 + (√2 + 1)^-1 = 1/(√2 - 1) + 1/(√2 + 1). Это меньше 2.

Мы видим, что при x = 0 у нас получается 2, а при x = 1 - больше 2, а при x = -1 - меньше 2. Это указывает на то, что у нас есть решение в промежутке между -1 и 1.

Теперь рассмотрим, что у нас есть:

• При x = 0: сумма равна 2.
• При x = 1: сумма больше 2.
• При x = -1: сумма меньше 2.

Это означает, что x = 0 является единственным решением уравнения. Таким образом, мы можем записать ответ:

Ответ: x = 0.